第六讲  旋转

【知识梳理】

1、旋转的概念及其性质

概念：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

如下图所示：

旋转作图：

①明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角.

②理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.

③掌握作图的步骤:

(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角；

（2）分析图形，找出构成图形的关键点；

（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；

（4）连接作出的各个关键点，并标上字母；

（5）写出结论.

2、中心对称的概念及其性质

中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。

如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。

中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

3、坐标系中对称点的特征

（1）关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

（2）关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

（3）关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y） 

【典例分析】

【例题1】如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（ ）

A．900               B．600               C． 450              D．300

【变式训练1】1、如图，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是(      )

A、300        B、600          C、900           D、1200

2、下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（     ）

A、             B、             C、            D

3、将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转900，所得图形一定与原图形重合的是（   ）

（A）平行四边形   （B）矩形      （C）菱形   （D）正方形

【例题2】△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′=90°，则旋转中心是点______．旋转角是______．点A的对应点是______．线段AB的对应线段是______．∠B的对应角是______．∠BOB′=______．

【变式训练2】如图，△ABC绕着点O旋转到△DEF的位置，则旋转中心是______．旋转角是______．AO=______，AB=______，∠ACB=∠______．

【例题3】如图，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形．

（1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；

（2）在图上画出再次旋转后的三角形④。

【例题4】下列命题中正确的命题的个数有（   ）

①在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分；

②关于某一点成中心对称的两个三角形能重合；

③两个能重合的图形一定关于某点中心对称；

④如果两个三角形的对应点连线都经过同一点，那么这两个三角形成中心对称；

⑤成中心对称的两个图形中，对应线段互相平行或共线。

A.1个          B.2个            C.3个       D.4个

【变式训练4】1、下列说法中，正确的的是（   ）

A.形状和大小完全相同的两个图形成中心对称；

B.成中心对称的两个图形一定重合；

C.成中心对称的两个图形的形状和大小完全重合；

D.旋转后能重合的两个图形成中心对称 。

（2）下列描述中心对称的特征语句中正确的是（    ）

A、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心。

B、成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段。

C、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段经过对称中心，但不一定被对称中心平分。

D、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，且被对称中心平分

【例题5】下列两个电子数字成中心对称的是（    ）

【变式训练5】1、（2014年中考）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）

2、下面的图形中，是中心对称图形的是（　  　）

【例题6】作出图中△ABC关于点P成中心对称的图形△A′B′C′.

【变式训练6】如图（1），已知四边形ABCD和一点O，求作四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD关于点O对称；如果把O点移至如图（2）所示位置,又该怎么作图呢?

【例题7】点P（x，y）关于x轴对称的点P 1为______；关于y轴对称的点P2为______；关于原点的对称点P3为______。

【变式训练】1、已知点P(a,3)和P’(－4,b)关于原点对称,则(a+b)的值为          。

2、设点A与点B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C(   )

A．关于x轴对称                    B．关于y轴对称  

C．关于原点对称．                 D．既关于x轴对称，又关于y轴对称

【例题8】如图已知A（3，－3），B（－2，－1），C（－1，－2）是直角坐标平面上三点， 

（1）请画出△ABC关于原点O对称的△ABC（2）请写出点B关于y轴对称的点B的坐标，若将点B向上平移h个单位，使其落在△ABC的内部，指出h的取值范围。

【变式训练】（1）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．

（1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标；

（2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标．

（2）如下图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与四边形ABCD关于原点对称的

图形.

【课堂练习】

1．（苏州）下列图形中，旋转600后可以和原图形重合的是（　　）

  A、正六边形    B、正五边形　  C、正方形    D、正三角形

2．（眉山）数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后

和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．

以上四位同学的回答中，错误的是（     ）

  A、甲         B、乙          C、丙        D、丁

3．（南平）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是（      ）

A、50°    B、60°    C、70°     D、80°

4．（济宁）在平面直角坐标系中，将点A1（6，1）向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为（  ）

   A、（-2，1）   B、（1，1）  C、（-1，1）  D、（5，1）

5．（黑龙江）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

6．（潍坊）如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（    ）

A、  B、  C、  D、

7、如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即和．

（1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将重合到上；

（2）在方格纸中将经过怎样的变换后可以与成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．

【课后练习】

1．下列图不是中心对称图形的是（    ）
A．①③   B．②④  C．①④    D．②③  

2．如下图，四边形ABCD是正方形，ΔADE绕着点A旋转900后到达ΔABF的位置，连接EF，则ΔAEF的形状是（    ）

A．等腰三角形        B．直角三角形     C．等腰直角三角形    D．等边三角形

3． 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A             B               C                D    

4．如图,将正方形图案绕中心O 旋转180°后,得到的图案是(   )

5．下列命题中的真命题是 (    )

A．全等的两个图形是中心对称图形;  B．关于中心对称的两个图形全等;

C．中心对称图形都是轴对称图形;    D．轴对称图形都是中心对称图形.

6．如图，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得，则

是　　　　三角形。

7.如图所示，图 (1) 经过         变化成图 (2)， 图 (2 )经过        变化成图 (3)．

8.绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形。

小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形

重合。请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_______________ ．

9.如图所示，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B、O两点的对应点分别为C、D，则旋转角为_____________，图中除△ABC外，还有等边三形是_____________。

10.如图所示,线段AB=4cm,且CD⊥AB于O,则阴影部分的面积是________.

11.如图，A点坐标为（3，3），将△ABC先向下平移4个单位得△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点O逆时针旋转180°得△A″B″C″，请你画出△A′B′C′和△A″B″C″，并写出点A″的坐标．

12.如图，在正方形中，是的中点，是延长线上的一点，。求证：。

13．已知：如图在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．

    （1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由．

    （2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；

（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．