2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则斜边的长为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，▱的对角线、相交于点，下列说法错误的是

A.
B.
C.
D.
 

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 下列各组数中，不能作为一个直角三角形的三边长的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是

A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直

7. 若是整数，则正整数的最小值为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，一根竖直生长的竹子，原高一丈一丈尺，折断后，其竹稍恰好抵地地面水平，抵地处离竹子底端尺远，则折断处离地面的高度是

A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺

9. 如图，矩形的周长为，连接矩形四条边中点得到四边形，再连接四边形四条边中点得到四边形，如此继续下去，，则四边形的周长为

A.  B.  C.  D.

10. 用表示不超过的最大整数．例如：，，把作为的小数部分．已知，的小数部分是，的小数部分是，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 化简：______．
12. 平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到原点的距离是______．
13. 如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，若，则______
     

14. 已知，则化简的结果是______．
15. 如图，中，，，、为上两点，若，，则的值为______．
     

16. 在面积为的▱中，、分别为、的中点，为边上的高，若，，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 如图，四边形中，，，，，．
    直接写出的长为______；
    求四边形的面积．
    
     

19. 如图，在同一平面内线段在、之间，四边形和都是平行四边形．
    求证：四边形是平行四边形；
    若四边形的面积为，四边形的面积为，则四边形的面积为______．
     

20. 已知，，求下列各式的值：
    ；
    ．
21. 如图是由单位小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，为线段上一点．仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
    平移至，使点对应点为点，连接；
    在上找一点，使；
    在、上分别找点、，使最小．

22. 如图，四边形中，，，，，，点从点出发以的速度在边上向点运动；点从点同时出发以的速度在边上向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动．设运动时间为．
    当四边形是矩形时，的值是______；
    在运动过程中，当时，的值是______；
    如图，若，求的值．

23. 菱形中，，为等边三角形，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接、．
    如图，为边上一点点、不重合，则、的位置关系是______，、的数量关系是______；
    将旋转至如图所示位置，中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
    若，，在旋转过程中，的最小值为______，此时的长为______．

24. 平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，、满足．
    ______，______；
    如图，连接、交于点，过点作交轴于点，求点的坐标；
    如图，、分别为、上的动点，以、为边作矩形，连接、，当时，求点的纵坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
 

2.【答案】

【解析】解：直角三角形的两条直角边的长分别为和，
斜边的长为：．
故选：．
直接利用勾股定理计算得出答案．
本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

3.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
、、C正确，D错误；
故选：．
由平行四边形的性质容易得出结论．
本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】

【解析】解：、，，
，
以三条线段，，为边能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以三条线段，，为边能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
以三条线段，，为边不能组成直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
以三条线段，，为边能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：因为矩形的性质：对角相等、对边相等、对角线相等；
菱形的性质：对角相等、对边相等、对角线互相垂直．
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：．
根据菱形和矩形的性质即可判断．
本题考查了菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质．
 

7.【答案】

【解析】解：，
而是整数，为正数，
为的平方数倍，
正整数的最小值为．
故选：．
先化简得到，只有为的平方数倍时，为整数，从而得到正整数的最小值．
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式；关键是掌握二次根式的性质．
 

8.【答案】

【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
折断处离地面的高度为尺，
故选：．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 

9.【答案】

【解析】解：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，则四边形的周长为矩形周长的，
顺次连接四边形四边的中点得到四边形，则四边形的周长为四边形周长的一半，即为矩形周长的，
顺次连接四边形四边的中点得四边形，则四边形的周长为四边形周长的一半，即为矩形周长的，
故中点四边形的周长等于原四边形的周长的一半，则四边形周长为矩形周长的，
又矩形的周长为，
的周长，
故选：．
根据矩形的周长、四边形周长、四边形的周长、四边形的周长，即可发现中点四边形的周长等于原四边形的周长的一半，找到规律即可解题．
本题考查了中点四边形以及矩形的性质的运用，找到连接矩形、菱形中点所得的中点四边形的周长为原四边形周长的一半是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，


，
原式








故选：．
利用分母有理化化简，的值，求出，的值，代入代数式求值即可．
本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义，掌握分母有理化常常是乘二次根式本身分母只有一项或与原分母组成平方差公式是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的性质与化简进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质与化简的方法进行求解是解决本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：点的坐标是，
点到原点的距离是：．
故答案为：．
根据点坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离．
此题主要考查了勾股定理，点的坐标，正确理解点的坐标性质是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：菱形，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的邻角互补解答．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
原式．
故答案为：．
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，，
，
，，
，
将绕点逆时针，得到，连接，则，，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
的值为，
故答案为：．
先由，，得，将绕点逆时针，得到，连接，则，，，再证明≌，得，则，而，所以，由勾股定理得，则．
此题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，，
，
为的中点，
为的中点，
是梯形的中位线，，
，
在中，根据勾股定理得：
．
故答案为：．
根据题意画出图形，过点作于点，根据平行四边形的面积求出，然后证明是梯形的中位线，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，梯形中位线定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 

17.【答案】解：原式
；

原式
．

【解析】直接利用二次根式的性质化简，再合并得出答案；
直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】

【解析】解：连接，

，，，
，
故答案为：；
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积的面积的面积



，
四边形的面积为．
连接，在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用四边形的面积的面积的面积进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

19.【答案】

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形；
解：四边形和都是平行四边形，四边形是平行四边形，
，，，
在和中，
，
≌，
的面积的面积，
四边形的面积为，四边形的面积为，
四边形的面积为．
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，，进而可以证明四边形是平行四边形；
结合证明≌，根据四边形的面积为，四边形的面积为，可得四边形的面积．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
 

20.【答案】解：，，
，，，



；
，



．

【解析】根据二次根式的加减法法则分别求出、，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式求出中代数式的值，根据分式的减法法则、平方差公式求出中代数式的值．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘方法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，线段，即为所求；
如图，点即为所求；
如图，点，点即为所求．
 

【解析】利用平移变换的性质，作出图形即可；
漏解交于点，理解，延长交于点，点即为所求；
取格点，理解交于点，取格点，理解交于点，点，点即为所求．
本题考查作图平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】 或

【解析】解：由题意得，，，，，
如图，四边形是矩形，
，
，
解得，
当四边形是矩形时，的值是，
故答案为：．
当，且时，如图，
，
四边形是平行四边形，
，
，
解得；
当，且与不平行时，如图，
作于点，于点，则，
，
，，
≌，四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
由得，
解得，
综上所述，当时，的值是或，
故答案为：或．
如图，作平分，交于点，则，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
作于点，于点，则四边形是矩形，，，
，
，
四边形是矩形，
，
解得，
的值是．
由题意得，，，当四边形是矩形时，则，可列方程，解方程求出的值即可；
当，且时，则四边形是平行四边形，则，可列方程，解方程求出的值；当，且与不平行时，作于点，于点，可证明≌，四边形和四边形都是矩形，可推导出，可列方程，解方程求出的值；
作平分，交于点，则，由得，所以，可证明四边形是平行四边形，则，作于点，于点，则四边形和四边形都是矩形，所以，，根据勾股定理得，于是可列方程，解方程求出的值即可．
此题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】    

【解析】解：如图，

延长交于，
是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
平分，，
，
，
故答案为，；
如图，

中的结论仍然成立，理由如下：
延长至，使，连接，交于，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
；


连接，交于点，连接，
是的中位线，
，
点在以为圆心，为半径的圆，
当点运动到与的交点处时，最小，
四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
故答案为，．
延长交于，证明≌，进一步得出结论；
延长至，使，连接，交于，≌，进而证明≌，进一步得出结论；
连接，交于点，连接，求得，进而得出点在以为圆心，为半径的圆，当点运动到与的交点处时，最小，进一步求得结果也可以连接，根据，从而得出当、、共线时，最小；
本题考查了等边三角形性质，菱形性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握“倍长中线”等模型．
 

24.【答案】 

【解析】解：由有意义得：，
，
由有意义得：，
，
，
把代入得：，
故答案为：；；
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
，
，
；
如图，连接交于点，连接，过点作轴于点，交的延长线于，设交于，

四边形是矩形，
，，，，，
，
四边形是矩形，
，
又，
，
，
，
，，
又，
，
，
即，
，
，
，，
∽，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
 在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
点的纵坐标为．
根据由二次根式的性质可得，；
首先利用勾股定理求出的长，再利用∽，求出的长，从而得出答案；
连接交于点，连接，过点作轴于点，交的延长线于，设交于，利用矩形的性质可得，从而得出，由，可得，再证明∽，得，利用含角的直角三角形的性质，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形性质，二次根式的非负性，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解决问题的关键．