2021-2022学年北京市陈经纶中学望京实验校区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市陈经纶中学望京实验校区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

2. 下列各式中，运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象　　

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位

4. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 关于直线：，下列说法不正确的是

A. 点在上 B. 经过定点
C. 当时，随的增大而增大 D. 经过第一、二、三象限

6. 若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，则四边形一定是

A. 矩形 B. 菱形
C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形

7. 如图，矩形中，，，点，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为

A.  B.  C.  D.

8. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手次测试成绩的平均数与方差：

要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

9. 如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

10. 为了让市民享受到更多的优惠，相关部门拟确定一个折扣线，计划使左右的人获得折扣优惠．某市针对乘坐地铁的人群进行了调查．调查小组在各地铁站随机调查了该市人上一年乘坐地铁的月均花费单位：元，绘制了频数分布直方图，如图所示．下列说法正确的是
    每人乘坐地铁的月均花费最集中的区域在元范围内；
    每人乘坐地铁的月均花费的平均数范围是元范围内；
    每人乘坐地铁的月均花费的中位数在元范围内；
    乘坐地铁的月均花费达到元以上的人可以享受折扣．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 已知平行四边形中，，则的度数是______．
13. 请写出一个过点，且随着的增大而减小的一次函数解析式______．
14. 在湖的两侧有，两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点，并量取了中点和中点之间的距离为米，则，之间的距离应为______ 米．

15. 已知关于，的一次函数的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么的取值范围是______．
16. 如图，矩形的对角线，交于点，，，则的长为______．
     

17. 直角三角形的两边长分别为、，则第三边的长为______．
18. 正方形的边长为，点为对角线上任意一点，，，垂足分别是，则______．
    
    
     

19. 如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是，则的值为______．
20. 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．
    九章算术中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？
    译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为尺，则可列方程为______．

三、解答题（本大题共9小题，共50分）

21. 计算：
    
     
22. 计算；
23. 如图，在▱中，，分别为，边的中点，连接，求证：四边形是平行四边形．
     

24. 下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程．
    求作：菱形．
    作法：作线段；
    作线段的垂直平分线，交于点；
    在直线上取点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点点与点不重合；
    连接、、、．
    所以四边形为所求作的菱形．
    根据小明设计的尺规作图过程，
    使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
    完成下面的证明．
    证明：，，
    ______ ．
    ______ ，
    四边形为菱形______ 填推理的依据．
25. 如图是一次函数的图象．
    根据图象，求，的值；
    在图中画出函数的图象；
    当的函数值大于的函数值时，的取值范围是什么？
    
     

26. 如图，在中，点、、分别是边、、的中点，且．
    求证：四边形为矩形；
    若，，写出矩形的周长．
27. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
    小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
    下面是小明的探究过程，请补充完整：
    函数的自变量的取值范围是______；
    下表是与的几组对应值．

求出的值；
如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
写出该函数的一条性质______．

28. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于年在北京市和张家口市举行．为了调查学生对冬奥知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
    甲校名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如图：
    
    甲校学生样本成绩频数分布表

甲校成绩在的这一组的具体成绩是：

甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如图：

根据以如图表提供的信息，解答下列问题：
表中______；表中的中位数______；
补全甲校学生样本成绩频数分布直方图；
在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生填“甲”或“乙”，理由是______；
假设甲校名学生都参加此次测试，若成绩分及以上为优秀，估计成绩优秀的学生人数为______人．

29. 在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩积”，给出如下定义：
    “横底”：任意两点横坐标差的最大值；“纵高”：任意两点纵坐标差的最大值；则“矩积”例如：三点坐标分别为，，，则“横底”，“纵高”，“矩积”．
    已知点，．
    若点在轴上．
    当，，三点的“矩积”为，则点的坐标为______；
    直接写出，，三点的“矩积”的最小值为______；
    若点在直线上，使得，，三点的“矩积”取到最小值，直接写出的取值范围是______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，，
，
，，能作为直角三角形的三条边，
故A不符合题意；
B、，，
，
，，不能作为直角三角形的三条边，
故B符合题意；
C、，，
，
，，能作为直角三角形的三条边，
故C不符合题意；
D、，，
，
，，能作为直角三角形的三条边，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算正确；
D、和不能合并，故原题计算错误；
故选：．
根据，，被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则．
 

3.【答案】

【解析】解：由题意得值不变增加个单位，
应沿轴向上平移个单位．
故选：．
平移后相当于不变增加了个单位，由此可得出答案．
本题考查一次函数图象的几何变换，注意平移值不变的性质．
 

4.【答案】

【解析】解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

5.【答案】

【解析】解：、当时，，即点在上，故此选项正确；
B、当时，，此选项正确；
C、当时，随的增大而增大，此选项正确；
D、不能确定经过第一、二、三象限，此选项错误；
故选：．
直接根据一次函数的性质选择不正确选项即可．
本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为此题难度不大．
 

6.【答案】

【解析】解：已知：如右图，四边形是矩形，且、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是对角线垂直的四边形．
证明：由于、、、分别是、、、的中点，
根据三角形中位线定理得：，；
四边形是矩形，即，
，
故选：．
此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
 

7.【答案】

【解析】解：，
则，
点表示，
点表示，
故选：．
首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．
 

8.【答案】

【解析】解：成绩好的选手是乙、丙，
成绩发挥稳定的选手是甲、乙，
成绩好且发挥稳定的选手是乙，
应该选择乙参加射箭比赛，
故选：．
根据平均数的概念、方差的性质判断即可．
本题考查的是平均数、方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形为菱形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据菱形的性质以及，利用可得≌，可得，然后可得，继而可求得的度数．
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
 

10.【答案】

【解析】解：根据频数分布直方图，可得众数为元范围，故每人乘坐地铁的月均花费最集中的区域在元范围内，故错误；
每人乘坐地铁的月均花费的平均数元，故每人乘坐地铁的月均花费不在元范围内，故错误；
每人乘坐地铁的月均花费的中位数约为元，在元范围内，故正确；
为了让市民享受到更多的优惠，若使左右的人获得折扣优惠，则乘坐地铁的月均花费达到元以上的人可以享受折扣，故正确．
故选：．
根据频数分布直方图中的数据，求得众数，平均数，中位数，即可得出结论．
本题主要考查了频数分布直方图，平均数以及中位数的应用，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得 ，再解不等式即可．
【解答】
解： 二次根式 在实数范围内有意义，
被开方数 为非负数，
，
解得： ．
故答案为： ．   

12.【答案】

【解析】解：平行四边形中，
，，
，
，
的度数是．
故答案为：．
根据平行四边形对角相等，邻角互补，进而得出的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质，得出是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：设该一次函数的解析式为．
随着的增大而减小，
，
取．
点在一次函数图象上，
．
故答案为：．
由随着的增大而减小可得出，取，再根据一次函数图象上点的坐标特征可得出，此题得解．
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：、分别是，的中点，
是的中位线，
，且，
米，
米．
故答案为：．
可得是的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得，且，再根据的长度为米，即可求出、两地之间的距离．
此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

15.【答案】

【解析】解：的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，
，
．
故填空答案：．
根据题意得，然后解不等即可得到的取值范围．
此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，要求学生能够根据，的符号正确判断直线所经过的象限．
 

16.【答案】

【解析】解：在矩形中，，
，
，
是等边三角形，
，
在中，根据勾股定理得，．
故答案为：．
根据矩形的对角线相等且互相平分可得，再根据邻补角的定义求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了矩形的对角线相等且互相平分．
 

17.【答案】

【解析】解：当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为；
当为斜边时，由勾股定理得，第三边为；
故直角三角形的第三边应该为或．
故答案为：或．
题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
此题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．
 

18.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
故答案为．
证明四边形是矩形得，证明是等腰直角三角形得便可求得结果．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明，．
 

19.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值、一次函数图像、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点；求出函数与 轴、 轴的交点是解题的关键．
先求出直线 与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式列出关于 的方程，求出 的值即可．
【解答】
解：当 时， ，
当 时， ，
则根据三角形的面积公式： ，
解得 ；
故答案为 ．   

20.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【解答】
解：根据勾股定理可得：
，即 ，
解得： 不合题意舍去 ， ，
尺 ，
尺 ．
答：门高 尺，门宽 尺，对角线长 尺．
故答案为： ．   

21.【答案】解：

；




．

【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别计算得出答案；
直接化简二次根式进而利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

22.【答案】解：

．

【解析】直接利用乘法公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别为，边的中点，
，，，
，
四边形是平行四边形．

【解析】由平行四边形的性质得出，，证出，即可得出四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】如图，四边形为所作；

四边形为平行四边形    对角线互相垂直的平行四边形为菱形

【解析】解：见答案；
完成下面的证明．
证明：，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
故答案为四边形为平行四边形，，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
根据几何语言画出对应的几何图形；
先证明四边形为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形为菱形．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．
 

25.【答案】解：把，代入得，解得；
当时，；当时，，解得，
直线过点和，如图，

当的函数值大于的函数值时，．

【解析】利用待定系数法求解析式得到、的值；
利用描点法画函数图象；
利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

26.【答案】证明：连接．

，分别是边，的中点，
，，
点是边的中点，
．
．
四边形为平行四边形；
由点，分别是边，的中点，
．
，
，
四边形为矩形；
解：四边形为矩形，
，
，
，，
，
，，，
，
矩形的周长．

【解析】连接根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的性质和判定，三角形的中位线的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：；
令，
；
如图
；
该函数没有最大值或该函数没有最小值．

【解析】解：；
故答案是：；
见答案；
见答案；
答案不唯一，可参考以下的角度：
该函数没有最大值或该函数没有最小值；
该函数在值不等于；
增减性．
由解析式可知；
根据图表可知当时，把代入解析式即可求得；
根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
观察图象即可得出该函数的其他性质
本题考查了函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
 

28.【答案】    甲  甲校的中位数是， 

【解析】解：，
由频数分布表和频数分布直方图中的信息可知，排在中间的两个数是和，
；
故答案为：，；
补全图甲校学生样本成绩频数分布直方图如图所示；
在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是甲校的学生，
理由：甲校的中位数是，；
故答案为：甲，甲校的中位数是，；
，
答：成绩优秀的学生人数为人．
故答案为：人．
根据频数分布表和频数分布直方图的信息列式计算即可得到的值，根据中位数的定义求解可得的值；
根据题意补全频数分布直方图即可；
根据甲这名学生的成绩为分，小于乙校样本数据的中位数分，大于甲校样本数据的中位数分可得；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查频数分布直方图、中位数、加权平均数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

29.【答案】解：或，

或．

【解析】解：设点，
，，三点的“矩积”为，“纵高”，
横底”，
若，则，
；
若，则，不合题意舍去；
若，则；
，
点或，
故答案为或；
当若，则，
，
当时，，
当时，则，
，
，，三点的“矩积”的最小值为，
故答案为；
设点，
由可知：当时，，，三点的“矩积”能取到最小值，
如图，

当直线过点时，
，
，
当直线过点时，
，
，
当或时，，，三点的“矩积”能取到最小值．
分三种情况讨论，由“矩积”定义可求解；
分三种情况讨论，由“矩积”定义可求解；
先求出特殊位置时，的值，即可求解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．