2021-2022学年安徽省合肥四十二中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年安徽省合肥四十二中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省合肥四十二中八年级（下）期中数学试卷 题号一二三总分得分     一、选择题（本大题共10小题，共40分）下列方程是一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 要使式子有意义，则的取值范围是(    )A.  B. 且 
C. 或  D. 且 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    )A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，二次根式、、、、、中，最简二次根式有个．(    )A.  个 B.  个 C.  个 D. 个下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 若是方程的一个根，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 如图所示，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整幅挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是(    )
A.  B.
C.  D. 某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从年起到年累计投入万元，已知年投入万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是(    )A.
B.
C.
D. 将根号外的因式移到根号内，得(    )A.  B.  C.  D. 如图，在梯形中，，，为上一点，分别以，为折痕将两个角向内折叠，点、点恰好都落在边上的点处．若，，则的值是(    )
 A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共4小题，共20分）如图，在数轴上以个单位长度为边长作一个正方形，再以表示数的点为圆心，以这个正方形对角线的长为半径作一个圆，交数轴于点点点在点左边，则点表示的数是______．
若方程的两个不相等的实数根，恰好是一个直角三角形的两条边长，则此直角三角形的第三条边长是______．若，则______．如图，在中，分别以、、为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为，，，请解答以下问题：
，，满足的数量关系是______．
现将向上翻折，如图，若阴影部分的，，，则______．
  三、解答题（本大题共9小题，共90分）计算：
；
．解方程：
配方法；
．九章算术是我国古代数学的经典著作书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈一丈为十尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？
某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染人．
现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数用含的代数式表示；
在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有人吗？不解方程，判别关于的一元二次方程的根的情况；
在中，斜边，直角边、的长是中方程的两个不相等的实数根，求的值．如图，要建一个长方形场地，场地的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于墙的边开了个宽的门，问所围成的长方形场地的长、宽分别为多少米时，场地的面积为？
如图，为线段上动点，分别过点、作于点，于点，连接、，已知、、，设．
直接写出用含的代数式表示的的长______无需化简；
观察图形并说明在什么情况下的值最小？最小值是多少？写出计算过程；
综上，直接写出代数式的最小值．
某种新商品的进价为每件元在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件；当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，据此，请解答以下问题：
当每件商品的售价为元时，每天可销售______件，每天可盈利______元；
若每天至少销售件且每天可盈利元，则每件商品的售价应定为多少元？如图，在中，，、，动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿射线运动，设运动时间为秒，请解答以下问题：
边的长为______；
当为直角三角形时，求的值，写出求解过程；
当为等腰三角形时，直接写出的值．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、由已知方程得到：，不是方程，故本选项不符合题意．
故选：．
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 2.【答案】 【解析】解：由题意得，，，
解得，且，
故选：．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 4.【答案】 【解析】解：二次根式、、、、、中，
最简二次根式有、、共个．
故选：．
利用最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分析得出即可．
此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 5.【答案】 【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据二次分式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是正确理解二次根式的性质，本题属于基础题型．
 6.【答案】 【解析】解：是方程的一个根，
，
，
，
．
故选：．
先利用一元二次方程解的定义得到，再用表示得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 7.【答案】 【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为，
，
整理，得．
故选：．
根据矩形的面积长宽，得出本题的等量关系是：风景画的长个纸边的宽度风景画的宽个纸边的宽度整个挂图的面积，由此可得出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
 8.【答案】 【解析】解：设年投入经费的年平均增长率为，则年投入万元，年投入万元，
根据题意得．
故选：．
如果设投入经费的年平均增长率为，根据年投入万元，得出年投入万元，年投入万元，然后根据三年共投入万元可得出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 9.【答案】 【解析】解：．
故选：．
直接利用二次根式的性质得出的符号，进而变形得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：分别以，为折痕将两个角向内折起，点，恰好落在边的点处，
，，，，
，，
如图，过点作于，
，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
．
故选：．
先根据折叠的性质得，，，，则，，再作于，由于，，则可判断四边形为矩形，所以，，然后在中，利用勾股定理计算出，进而可得．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
 11.【答案】 【解析】解：以为单位作正方形，则正方形的对角线为，
所以到点的距离，即圆的半径为，
所以，
则点表示的数是．
故答案为：．
正方形的对角线长，就是圆的半径，从而得知到点的距离等于半径，所以的长度可以求出．加上负号即为点表示的数．
本题考查的是数轴上的实数，关键是要求出点到原点的距离．
 12.【答案】或 【解析】解：解方程得：或，
即直角三角形的两边为或，
当为直角边时，第三边为：；
当为斜边时，第三边为：；
故答案为：或．
先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．
本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得的值，然后进行式子的变形可得，再代入计算即可．
此题考查的是二次根式有意义的条件、求代数式的值，掌握二次根式有意义的条件得到的取值范围是解决此题关键．
 14.【答案】   【解析】解：，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
由的结论知，，

，
故答案为：．
由等边三角形的面积公式得，，，再由勾股定理得；
由的结论知，，代入已知数据便可求得结果．
本题主要考查了三角形的面积公式，勾股定理，关键是解题关键是根据等边三角形的性质表示出每一个三角形的面积．
 15.【答案】解：原式
；
原式

． 【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 16.【答案】解：，
，即，
，
，；
，
，
则，
或，
解得，． 【解析】利用配方法求解可得；
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 17.【答案】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
答：原处还有尺高的竹子． 【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 18.【答案】解：依题意得：第一轮传染后患病的人数为人．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
，都不是正整数，
第二轮传染后患病的人数为人的情况不会发生． 【解析】利用第一轮传染后患病的人数在每轮传染中一人传染的人数，即可用含的代数式表示出第一轮传染后患病的人数；
利用第二轮传染后患病的人数第一轮传染后患病的人数在每轮传染中一人传染的人数第一轮传染后患病的人数，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合为正整数，即可得出第二轮传染后患病的人数为人的情况不会发生．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出第一轮传染后患病的人数；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 19.【答案】解：

，
方程有两个不相等的实数根；
直角边、的长是中方程的两个不相等的实数根，
，，
根据勾股定理得：，
即，
整理得：，即，
解得：或舍去，
则． 【解析】表示出根的判别式，判断其值与的关系即可；
利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再利用勾股定理求出的值即可．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 20.【答案】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为，由题意得
，
化简，得，
解得：，，
当时，舍去，当时，，
答：所围矩形猪舍的长为、宽为． 【解析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．
 21.【答案】 【解析】解：，，，
，
在中，，
，，
在中，，
，
故答案为：；
如图，当是和交点时，
延长与的垂线交于点，
，
的最小值为；
如图，，，，连接交于点，
的最小
的长即为代数式的最小值，
四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得，，
即代数式的最小值为．
由于和都是直角三角形，故AC，可由勾股定理求得；
当是和交点时，过点作，过点作，则，即可求的最小值；
由的结果可作，过点作，过点作，使，，连接交于点，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值．
此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如式的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
 22.【答案】   【解析】解：根据题意，得元，
件，
元，
当每件商品的售价为元时，每天可销售件，每天盈利元，
故答案为：，；
设每件商品的售价定为元，
根据题意，得，
解得或，
当时，，
当时，，
每天至少销售件，
，
每件商品的售价应定为元．
根据题意，先求出每件的利润，再求出每天卖多少件，即可求出每天的利润；
设每件商品的售价定为元，根据每天的利润列方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的实际应用，根据“一件的利润件数总的利润”列方程是解题的关键．
 23.【答案】 【解析】解：，，，
，
故答案为；
如图，

当时，此时，点与点重合，
，
，
当时，
，，
，
，
，
，
综上所述：或；
如图，

当时，，
，
，
，
当时，；
当时，，
，
，
，
综上所述：或或．
由勾股定理可求解；
分两种情况讨论，由勾股定理可求解；
分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．