2021-2022学年上海市杨浦区同济附属存志学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年上海市杨浦区同济附属存志学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 下列方程中，是二项方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的是(    )

A. 方程无实数根
B. 方程变形所得有理方程为
C. 方程的根是，
D. 关于的方程有实数根，那么

3. 下列结论正确的个数是(    )
   直线一定经过点；
   若直线不经过第四象限，则，；
   若，在直线上，且，则；
   若一次函数的图象交轴于点，则．

A.  B.  C.  D.

4. 矩形的一条边长是，两条对角线的夹角为，则矩形的另外一条边长等于(    )

A.  B.  C. 或 D.

5. 如图，已知、是菱形的对角线，那么下列结论一定正确的是(    )

A.
B. 和的周长相等
C. 菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D. 菱形的面积等于两条对角线之积的一半
 

6. 如图，矩形中，，，在上运动，于，设，，则关于的函数的大致图象是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共12小题，共36分）

7. 方程的解为______．
8. 方程的解为______．
9. 方程组的解是______．
10. 一个正多边形的一个外角为，则它的内角和为________．
11. 解分式方程，用换元整理后得到的关于的整式方程是______．
12. 将直线向左平移个单位得到直线，则不等式的解集为______．
13. 已知直线经过点，且与直线平行，那么原点到直线的距离为______．
14. 有两个正方形纸片，较大纸片的面积比较小纸片的面积大，较大纸片的边长比较小纸片的边长大，若设较大纸片的面积为，按题意可列方程为______．
15. 如图所示，、表示某工厂甲、乙两车间产品的总量与生产时间天之间的函数图象，第天结束时，甲、乙两车间产品总量为______．

16. 在面积为的平行四边形中，过点作垂直于直线于点，作垂直于直线于点，若，，则的值为______ ．
17. 如图，在菱形中，，，垂足分别为点，若，则等于______度．

18. 如图，矩形，将它分别沿和折叠，恰好使点，落到对角线上点，处，已知，，则矩形的面积是______．

三、计算题（本大题共1小题，共12分）

19. 解方程组：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共3小题，共34分）

20. 已知，如图，，是中的内、外角平分线，于，于点，延长交的延长线于点．
    求证：．

21. 某市将一项市政工程承包给某城建公司，该公司甲、乙两工程队如果全做这项工程共需个月；如果先由甲队单独做个月，剩下的工程由乙队单独完成，那么乙队所用的时间等于甲队单独完成这项工程所需的时间．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月．
22. 如图，在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点．
    当时，是的中点，联结，如图，请直接写出的度数
    当时，，且，分别联结、如图，求的度数．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程的右边不是零，
该方程不是二项方程．
不合题意．
的左边没有非零常数项，
该方程不是二项方程．
不合题意．
方程的左边没有非零的常数项，
该方程不是二项方程，
不合题意．
方程的右边为零，左边含有非零常数项，
是二项方程．
符合题意．
故选：．
根据二项方程的定义判断即可．
本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的特征是求解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，
方程两边平方，得，
即，
解得：，
经检验：不是原方程的解，是原方程的解，故本选项不符合题意；
B.，
方程两边平方，得，故本选项不符合题意；
C.，
方程两边平方，得，
即，
解得：，，
经检验是原方程的解，不是原方程的解，
所以原方程的解是，故本选项不符合题意；
D.关于的方程有实数根，
代入得：，
，
解得：，故本选项符合题意；
故选：．
方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可判断选项A；方程两边平方，即可判断选项B；方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可判断选项C；把代入方程，再求出的值，即可判断选项D．
本题考查了无理方程，解一元二次方程，方程的解等知识点，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，，
直线一定经过点，结论正确；
当时，直线不经过第四象限，
；
当时，直线不经过第四象限，
直线经过第一、三象限或直线经过第一、二、三象限．
当直线经过第一、三象限时，，；
当直线经过第一、二、三象限时，，，
若直线不经过第四象限，则，，结论不正确；
，
随的增大而减小，
又若，在直线上，且，
，结论不正确；
一次函数的图象交轴于点，
，
解得：，结论不正确．
正确的结论只有个．
故选：．
代入求出值，进而可得出直线一定经过点；分及两种情况考虑，当时，由直线不经过第四象限可得出；当时，由直线不经过第四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，，综上可得出结论不正确；利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，可得出，结论不正确；利用一次函数的定义及一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出的值，进而可得出结论不正确．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质以及一次函数的定义，逐一分析各个结论的正误是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：分两种情况讨论：
当矩形的短边为时，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
当矩形的长边为时，如图所示：
由得，，
；
综上所述：另一条边长为或，
故选：．
分两种情况讨论：当矩形的短边为时，先证明是等边三角形，根据勾股定理求出另一边长；当矩形的长边为时，根据三角函数求出另一边长．
本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用以及等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
的周长，的周长，菱形的周长，
选项A、、不正确；
菱形的面积，
选项D正确；
故选：．
由菱形的性质得，，则的周长，的周长，菱形的周长，则选项A、、不正确，再由菱形的面积公式得出选项D正确．
本题考查了菱形的性质以及三角形周长等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，

，
即：为反比例函数，
当点与点重合时，为最小值：，
当点与点重合时，为最大值：，
．
关于的函数的大致图象是．
故选：．
根据实际情况求得自变量的取值范围．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是利用面积公式求得函数关系式，特别是要确定自变量的取值范围．
 

7.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
即方程的解为，，
故答案为：，．
先方程两边都除以，再根据四次方根的定义求出方程的解即可．
本题考查了解高次方程，能根据四次方根的定义得出是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出的值．
本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把的值代入原方程进行检验．
【解答】
解：两边平方得：
，
解方程得：，，
检验：当时，方程的左边右边，所以为原方程的解，
当时，原方程的左边右边，所以不是原方程的解．
故答案为：．  

9.【答案】或 

【解析】解：方程组，
由得，，
把代入得，，
解得：，，
把，分别代入得，，，
原方程组的解为：或．
故答案为：或．
根据代入消元法解方程组即可得到结论．
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形内角与外角，多边形内角和定理为，且为整数；多边形的外角和等于度，先利用多边形的外角和等于度计算出多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式计算．
【解答】
解：这个正多边形的边数为，
所以这个正多边形的内角和为．

故答案为．

11.【答案】 

【解析】解：设，
方程变形得：，
去分母得：．
故答案为：．
根据换元整理后，去分母即可得到结果．
此题考查了解分式方程，利用了换元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将直线向左平移个单位得到直线，
经过，
不等式的解集是：．
故答案为：．
直接利用一次函数平移规律得出图象平移后与轴交点，进而得出答案．
此题主要考查了一次函数的几何变换以及一次函数与一元一次方程的应用不等式，正确得出图象与轴交点是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线经过点，且与直线平行，
直线的解析式为：，
设直线与轴的交点为，中边上的高，
，
解得，
，
，，
根据勾股定理，得，
的面积，
解得，
原点到直线的距离为，
故答案为：．
先求出直线解析式，再求出直线与轴的交点坐标，根据等积法即可求出点到直线的距离．
本题考查了两直线平行的位置关系，熟练掌握两直线平行与一次函数系数之间的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：较大纸片的面积为，则较小纸片的面积为，
由于正方形的边长是面积的算术平方根可得，
，
故答案为：．
根据算术平方根的定义分别用含有的代数式表示两个正方形的边长即可得出方程．
本题考查算术平方根，理解正方形的边长是正方形面积的算术平方根是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：甲车间的生产效率为：天；乙车间的生产效率为：天，
故第天结束时，甲、乙两车间产品总量为：，
故答案为：．
根据“工作效率工作量工作时间”分别其它甲、乙两车间的生产效率，进而得出第天结束时，甲、乙两车间产品总量．
本题考查了函数的图象，解答时分析清楚函数图象的数据含义是关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
如图：
由平行四边形面积公式得：，
求出，，
在和中，由勾股定理得：，
把，代入求出，
同理，即在的延长线上如上图，
，，
即，
如图：
，，在中，由勾股定理得：，
同理，由知：，，
，

故答案为：或．
根据平行四边形面积求出和，有两种情况，求出、的值，求出和的值，相加即可得出答案．
本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
故答案为：．
根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，根据菱形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由折叠的性质得，，，
，
设，则，，
四边形是矩形，
，，
，即，
负值舍去，
，，
；
故答案为：．
由折叠的性质得，，，设，则，，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：，
移项，得
两边平方，得，
整理，得，
两边平方，得，
整理，得，
，
，．
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解为：．
，
由，得，
，
，．
由得，
．
．
，．
，；
由得，
．
．
，．
，．
原方程组的解为，，． 

【解析】两边反复乘方，把无理方程转化为整式方程，求解并验根即可；
变形组中的第二个方程，转化为两个二元一次方程后与原方程组中的第一个方程构成新的方程组，求解即可．
本题主要考查了解无理方程和高次方程，掌握无理方程、高次方程组的解法是解决本题的关键．另无理方程注意验根．
 

20.【答案】证明：、是中的内、外角平分线，
，
于，于，
，
则，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
，
． 

【解析】利用矩形的判定方法得出，再根据全等三角形的判定得出．
此题主要考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
 

21.【答案】解：设甲单独完成这项工程需要个月，
根据题意，得，
解得不合题意，舍去或，
经检验，是原方程的根，
个，
答：甲单独完成这项工程需要个月，乙单独完成这项工程需要个月． 

【解析】设甲单独完成这项工程需要个月，根据“先由甲队单独做个月，剩下的工程乙队所用的时间等于甲队单独完成这项工程所需的时间”列方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：连接、，
四边形为平行四边形，，
四边形为矩形，
平分，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
为中点，
，，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
；
延长、交于，连接．
，，
四边形为平行四边形，
，平分，
，，，
为等腰三角形，
，
，
平行四边形为菱形，
，为全等的等边三角形，
，．
，，，
．
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据，是的中点可直接求得；
延长、交于，连接易证平行四边形为菱形，进而可得，为全等的等边三角形，再证明≌，所以可得，然后即可求得答案．
此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．