高考题型41 有关圆幂定理型压轴题试卷

这是一份高考题型41 有关圆幂定理型压轴题试卷，共7页。
1.相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P，则.
2. 切割线定理:如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则（）; 3.割线定理：如下右图，PAB、PCD为圆O的割线，则.
说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.
【典型题示例】
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直于AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是__________．
【答案】
【分析】从题中已知寻求PA、PT间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理.
【解法一】由中线长公式可得，则
，则
在中，，即
所以（当且仅当时取等）
【解法二】∵BT⊥ AP，∴点T的轨迹是圆，其方程是：x2+y2=1，
过点P作该圆的切线PC，C为切点，则PC=，由切割线定理得：
所以（当且仅当时取等）.
点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x2＋(y－1)2＝5，A为⊙C与x负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M. 若OA＝OM，则直线AB的斜率为________．
【答案】2
【分析】看到“弦的中点”想到作“弦心距”，得到CM⊥AB，故∠CMA+∠AOC=180，所以A、O、C、M四点共圆，AC为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出sinA即可.
【解析】连结C、M，则CM⊥AB，
在四边形AOCM中，∠CMA+∠AOC=180，故A、O、C、M四点共圆，且AC为直径.
x2＋(y－1)2＝5中，令y=0，得x＝±2，A（－2，0），AC=5即为△AOM外接圆的直径，
在△AOM中，由正弦定理得：OMsinA=5，而OA＝OM=2，
所以sinA=25，所以tanA=2.
故直线AB的斜率为2．
例3 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 ．
【答案】y＝x－1
【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得,两边平方求得的余弦值.
【解法一】：易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)．
由eq \(BM,\s\up14(→))＝2eq \(MA,\s\up14(→))，设BM＝2t，MA＝t.
如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝eq \f(3t,2).
设OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3t,2)))2＝r2＝5.
在Rt△OMH中，d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,2)))2＝OM2＝1，解得d2＝eq \f(1,2)，
则d2＝eq \f(k2,k2＋1)＝eq \f(1,2)，解得k＝1或k＝－1.
因为点A在第一象限， eq \(BM,\s\up14(→))＝2eq \(MA,\s\up14(→))，由图知k＝1，
所以所求的直线l的方程为y＝x－1.
【解法二】由，设BM＝2t，MA＝t
又过点M的直径被M分成两段长为、
由相交弦定理得，解之得
过原点O作OH⊥l于点H，
在Rt△OBH中，d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3t,2)))2＝r2＝5，解得d2＝eq \f(1,2)，（下同解法一，略）.
【解法三】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(BM,\s\up14(→))＝(1－x2，－y2)，eq \(MA,\s\up14(→))＝(x1－1，y1)．
因为eq \(BM,\s\up14(→))＝2eq \(MA,\s\up14(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2＝2x1－1，,－y2＝2y1.))
当直线AB的斜率不存在时，eq \(BM,\s\up14(→))＝eq \(MA,\s\up14(→))，不符合题意．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2＋y2＝5，))得(1＋k2)y2＋2ky－4k2＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(－2k,1＋k2)，,y1·y2＝\f(－4k2,1＋k2)，,－y2＝2y1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝\f(2k,1＋k2)，,y2＝\f(－4k,1＋k2)，))所以y1·y2＝eq \f(－8k2,1＋k22)＝eq \f(－4k2,1＋k2)，即k2＝1.又点A在第一象限，
所以k＝1，即直线AB的方程为y＝x－1.
【解法四】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(BM,\s\up14(→))＝(1－x2，－y2)，eq \(MA,\s\up14(→))＝(x1－1，y1)．
因为eq \(BM,\s\up14(→))＝2eq \(MA,\s\up14(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2＝2x1－1，,－y2＝2y1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＝2x1－3，,－y2＝2y1.))
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＝5，,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＝5，))代入可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＝5，,2x1－32＋4y\\al(2,1)＝5，))解得x1＝2，代入可得y1＝±1.又点A在第一象限，故A(2,1)，由点A和点M的坐标可得直线AB的方程为y＝x－1.
点评：
上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.
【巩固训练】
1. 在平面直角坐标系中，是直线上的动点，以为圆心的圆，若圆 截轴所得的弦长恒为4，过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为 .
2.在平面直角坐标系xOy中，圆C：(m＞0)．已知过原点O且相互垂直的两条直线l1和l2，其中l1与圆C相交于A，B两点，l2与圆C相切于点D．若AB＝OD，则直线l1的斜率为 ．
3. 在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 ．
4.在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆C：内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为 ．
5.在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是 ．
6.已知直线与圆相交于两点，点在直线上且，则的取值范围为 .
【答案与提示】
1.【答案】
2.【答案】
【解析一】作CE⊥AB于点E，则
，
由OECD是矩形，知CE2＝OD2，∴，化简得，
即cs∠OCD＝＝，tan∠COB＝tan∠OCD＝，
∴直线l1的斜率为．
【解析二】作CE⊥AB于点E，则OECD是矩形
设OD＝t(t >0)，则由切割线定理OD2＝OA ×OB得，即（※）
又，将（※）代人得，即
，
∴直线l1的斜率为．
3.【答案】:
【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.
，
即，整理化简得.
过点作的垂线交于，
则，得.
又圆心到直线的距离，所以，.
【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”.
由，即
得三点共线（其中是的中点），且，
设，
思路一：垂径定理后二次解三角形，，解之得.
思路二：相交弦定理，，解之得.
4.【答案】
5.【答案】
【提示】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.
6.【答案】