高考题型43 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比试卷
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这是一份高考题型43 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比试卷,共7页。
题型43 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1. 设椭圆的右焦点为,过的直线与椭圆相交于两点,直线的倾斜角为,且,则间满足.2.长短弦公式:如下图,长弦,短弦(其中是焦参数,即焦点到对应准线的距离,是直线与轴的夹角,而非倾斜角).说明:(1)公式1的推导使用椭圆的第二定义,不必记忆,要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.(2)双曲线也有类似结论. 【典型题示例】例1 已知椭圆方程为,AB为椭圆过右焦点F的弦,则的最小值为 .【答案】【解析】由,得,,则椭圆的离心率为,右准线方程为如图,过作于,则,①设的倾斜角为,则,②联立①②,可得,同理可得,.令,,,..当且仅当,即时上式取等号.的最小值为.故答案为:.例2 (2021·江苏南京盐城二调·7)已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,其中点A在第一象限,且若|AB|=|AF1|,则双曲线C的离心率为A.4 B. C. D.2【答案】D【解析】,,.例3 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A,B两点.若=3,则k=________. 【答案】【解析】如右图,设l为椭圆的右准线,过A、B 分别向l作垂线AA/、BB/,A/、B/分别是垂足,过B作AA/垂线BD,D是垂足 设BF=t ,AF=3t 则, 中, 故 又k>0,所以.
【巩固训练】1. 设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的离心率为________.2.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且 =2,则C的离心率为________.3. 已知是抛物线的焦点,过且斜率为1的直线交于两点.设,则与的比值等于 .(公众号:钻研数学)4.已知,是椭圆的左右焦点,若上存在不同两点,,使得,则该椭圆的离心率的取值范围为 A., B. C., D.
【答案与提示】1.【答案】【解析】如右图,设直线AB的倾斜角为 则, 所以由|AF1|=3|F1B|、长短弦公式得:,化简得:代入得:,即解之得:(负值已舍),所以.2.【答案】3.【答案】4.【答案】C【解析】延长交椭圆于,根据椭圆的对称性,则,,由,且,,由,所以,整理得,其中,,由,不重合,所以,,解得,所以,椭圆的离心率的取值范围,.
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