2021江西省重点中学协作体高三下学期5月第二次联考数学（理）试题含答案

江西省重点中学协作体2021届高三第二次联考

数学(理)试卷

一､选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，若，则实数（    ）

A.  B. 2 C.  D.

2. 已知为虚数单位，若复数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的共轭复数是 B. 的虚部是

C.  D.

3. 已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 设平面向量与向量互相垂直，且，若，则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 4

5. 设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

7. 己知等差数列的前项和为，且，则（    ）

A. 100 B. 110 C. 120 D. 130

8. 已知函数的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到奇函数的图象，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（    ）

A. 28种 B. 32种 C. 36种 D. 44种

10. 在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，若不等式恒成立，则实数取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知、是圆上两个不同的点，且满足，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13. 已知二项式的展开式中，二项式系数之和为32.则该展开式中含项的系数为___________.

14. 已知实数满足，则的最小值为___________.

15. 已知等比数列满足：，则___________.

16. 已知拋物线与圆相交于点，点关于原点对称的点为若过点的直线(且不过点)与抛物线交于两点，则直线与的斜率之积为___________.

三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，第17~21为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答.

17. 在中，角的对边分别为，且

（1）求角的值；

（2）点在线段上，且，求边长

18. 等边三角形的边长为，点、分别是边、上的点且如图甲，将沿折起到的位置，使四棱锥的体积最大.连接、，如图乙，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角余弦值.

19. 2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场､流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎，现有甲､乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为，在B点的命中率为，且他们每次套圈互不影响.

（1）若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次概率；

（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲得分为，乙的得分为，写出和的分布列和期望；

（3）在（2）的条件下，若，求的取值范围

20. 已知椭圆的左､右焦点分别为、，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于两个不同的点、，点为坐标原点，则当的面积最大时，求线段的中点的轨迹方程.

21. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数)､在以为极点轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线的极坐标方程为

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，弦的中点为是曲线上异于的点，求面积的最大值.

23. 已知函数的一个零点为，

（1）求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为，且正实数满足，求证：.

江西省重点中学协作体2021届高三第二次联考

数学(理)试卷 答案版

一､选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，若，则实数（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】A

2. 已知为虚数单位，若复数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的共轭复数是 B. 的虚部是

C.  D.

【答案】D

3. 已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

4. 设平面向量与向量互相垂直，且，若，则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】D

5. 设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

6. 若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

7. 己知等差数列的前项和为，且，则（    ）

A. 100 B. 110 C. 120 D. 130

【答案】C

8. 已知函数的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到奇函数的图象，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

9. 2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（    ）

A. 28种 B. 32种 C. 36种 D. 44种

【答案】B

10. 在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

11. 已知函数，若不等式恒成立，则实数取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

12. 已知、是圆上两个不同的点，且满足，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

二､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13. 已知二项式的展开式中，二项式系数之和为32.则该展开式中含项的系数为___________.

【答案】

14. 已知实数满足，则的最小值为___________.

【答案】

15. 已知等比数列满足：，则___________.

【答案】

16. 已知拋物线与圆相交于点，点关于原点对称的点为若过点的直线(且不过点)与抛物线交于两点，则直线与的斜率之积为___________.

【答案】

三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，第17~21为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答.

17. 在中，角的对边分别为，且

（1）求角的值；

（2）点在线段上，且，求边长

【答案】（1）；（2）.

18. 等边三角形的边长为，点、分别是边、上的点且如图甲，将沿折起到的位置，使四棱锥的体积最大.连接、，如图乙，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

19. 2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场､流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎，现有甲､乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为，在B点的命中率为，且他们每次套圈互不影响.

（1）若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次概率；

（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲得分为，乙的得分为，写出和的分布列和期望；

（3）在（2）的条件下，若，求的取值范围

【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，；（3）.

20. 已知椭圆的左､右焦点分别为、，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于两个不同的点、，点为坐标原点，则当的面积最大时，求线段的中点的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）.

21. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数)､在以为极点轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线的极坐标方程为

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，弦的中点为是曲线上异于的点，求面积的最大值.

【答案】（1），；（2）最大值是.

23. 已知函数的一个零点为，

（1）求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为，且正实数满足，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析