2021湖南省四大名校名师团队高三下学期5月高考猜题卷（A）数学试题含答案

2021年高考湖南四大名校名师团队猜题卷（A）

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若．则（    ）

A． B． C． D．

3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（    ）

A．第5行，呈葫芦状  B．第6行，呈葫芦状

C．第7行，呈宝瓶状  D．第8行，呈宝瓶状

一百零八塔全景

4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（    ）种．

A．36 B．48 C．72 D．120

5．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数 B．的图象关于直线对称

C．的周期是 D．在区间上单调递减

6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（    ）

A．甲同学和乙同学  B．丙同学和乙同学

C．乙同学和甲同学  D．丙同学和甲同学

7．有两条互相垂直的直线和，有一条定长的线段，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点是上的一个确定点，即点到点和点的距离的比值是一个定值．那么，随着线段的运动，点的运动轨迹及焦距长为（    ）

A．椭圆，焦距长为 B．椭圆，焦距长为

C．双曲线，焦距长为 D，双曲线，焦距长为

8．设函数满足，且对，，都有．令集合，则集合中的元素个数为（    ）

A．2020 B．2021 C．4040 D．4042

二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（    ）

A．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体

B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体

C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法

D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等

10．设实数、、满足，，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

11．设正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列说法正确的是（    ）

A．若点为线段的中点时，

B．若点与点重合时，异面直线与所成角的大小为

C．若时，二面角的正切值为

D．若与点重合时，三棱锥外接球的表面积为

12．已知函数，，若关于的方程的解，则实数的可能取值为（    ）

A． B． C．0 D．1

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知平面向量，，设，______．

14．已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值______．

15．已知等比数列中，，，则满足成立的最大正整数的值为______．

16．双曲线的渐近线为正方形的边、所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点的直线与直线、的分别相交于、两点，则内切圆半径的最大值为______．

四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设（且），求数列的前项和的最值．

18．（本小题满分12分）

某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在、、、四个位置建四座观景台，在凸四边形中，千米．千米．

（1）用表示；

（2）现要在、两处连接一根水下直管道，已知，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，，，，是边长为2的等边三角形，平面平面，为中点．

（1）设平面平面，证明：

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：

方式一：逐个检测；

方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；

方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；

其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．

（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；

（2）若，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．

（附：，，．）

21．（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，该点到原点的距离与到的准线的距离相等．

（1）求抛物线的方程；

（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，且与以焦点为圆心2为半径的圆交于，两点，点，在轴右侧．

①证明：当直线与轴不平行时，

②过点，分别作抛物线的切线，，与相交于点，求与的面积之积的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且．

2021年普通高校招生统一考试

湖南四大名校名师团队猜题卷（A）

数学参考答案

1．C

2．D【解析】．

3．C【解析】因为，故编号为26的佛塔在第7行，呈室瓶状．

4．B【解析】先排高一年级学生，有种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法；②若高一学生中间无高三学生，有种排法，所以共有种排法．

5．A【解析】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，为奇函数，故选A．

6．C【解析】，．∵．∴．又∵，，∴．∴有．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．

7．B【解析】此题为椭圆规画椭圆的原理．在两条互相垂直的直线和上建立平面直角坐标系，当点在第一象限时，设与轴的夹角为，则的坐标为（，），从而可知，点在椭圆上，点的轨迹是四分之一个椭圆，当点在其它几个象限或坐标轴上时，点的坐标满足方程，所以点的轨迹是一个椭圆，焦距长为．

8．D【解析】令，则有，又，∴．从而集合中，可化为．

即．∵，，∴，必定为一奇一偶．

若为偶数时，的取值可以为，，，…，，共有2021个．

若为偶数时，同理也有2021个．

∴集合中的元素个数共有（个）．

9．AD【解析】由题中数据可知，无论是运用系统抽样还是分层抽样，都不需要先剔除个体，A正确，B错误．系统抽样确定起始号时需要用到简单随机抽样，C错误．分层抽样时，所有个体被抽到的机会均等，D正确．

10．BD【解析】∵，得，即∴．

又，∴．

而．∴，从而．∴选BD．

11．ACD【解析】正方体中，易证，，又，

所以有面，当为中点时，面，∴，A正确；

对于B，∵，，

∴面，面，∴．若与重合时，异面直线与所成角为，B错误；

对于C，当时，过作，垂足为，则，．

易证面，从而由，可得二面角的平面角为．

∴，C正确．

对于D，点与重合时，三棱锥的外接球即正方体的外接球，其直径．∴其表面积，D正确．

12．AB【解析】易证，∴恒成立，所以C错误．

令．若，则时，，此时恒成立．

显然D错误，对于A、B，，．

，当时，在（0，1）上恒为正，故在（0，1）上单调递增．

又因为，．∴在（0，1）上存在唯一零点，

，；，．∴在上单调递减，在上单调递增．

∴，而，故在上存在唯一零点，A、B正确．

13．【解析】，．

14．取6，8，9，10，11中任意一个值均可．

【解析】的展开式的通项为，，．

若系数为有理数，则，且．当时，；

时；时；时，6；时无解；时，8；时，6；时，10；时，8，时，6，12．所以可取6，8，9，10，11中的任意一个值．

15．3【解析】已知为等比数列，设其公比为，由得，，，解得，又．∴．

易得数列也是等比数列，其首项为，公比为．

∴，从而有．

∴．故．

16．【解析】由题意得，过、向轴作垂线，垂足分别为，．

设，，则，．

，所以有．

又，有．（当且仅当时等号成立）．

的内切圆半径令，，则在上单调递减．

∴当时，有最大值为．

17．【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，

由得，．

所以．

（2）．

数列是首项为，公差为的等差数列．

方法一：当时，，数列是首项为正的递减等差数列．

由，得，，没有最小值．

当时，，数列是首项为负的递增等差数列．

由，得，所以，没有最大值．

方法二：利用等差数列求和公式得

．

当时，，此时，没有最大值．

当时，，此时，没有最小值．

18．【解析】（1）连结．

在中，．

在中，，

故有，从而．

（2）因为，所以由（1）可得，

，所以，而，故．

此时．

从而，所以为等腰三角形．

，，

．

所以

．

从而千米

19．【解析】（1）证明：因为平面平面，且平面平面．

，所以平面．

又平面．从而平面平面．

已知为等边三角形，为中点，

所以，故平面平面，

故平面．

由已知平面，所以．

（2）方法一：设中点为，则，因为平面平面，所以平面，

如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间坐标系，

由已知有，，，，．

设平面的法向量，

因为，，，，

所以，

令，则

设平面的法向量，

∵，，，，

，令，则，

因为，，

所以．

所以平面和平面所成二面角的余弦值为．

方法二：设与相交于点，即平面与平面的交线．

过设，垂足为．连结．

由（1）知平面，所以，从而平面．

所以，故是平面与平面所成锐二面角的平面角．

由已知易得，且，

由（1）知为直角三角形，为直角，

从而，

所以，

故，

所以．

20．【解析】（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件，

则．

（2）当时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99．

若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行次核酸检测．

若选择方式二，记每个4口之家检测次数为，则可能取值为2，4，6，其分布列为

．

故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望次．

若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为，则可能取值为1，5．其分布列为

故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为

故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望为次．

显然

由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测成本．

21．【解析】（1）由题意可得，解得，

所以抛物线的方程为．

（2）由（1）知，圆方程为：，

由已知可设，且，，

由得，

设是抛物线上任一点，则，

故抛物线与圆相离．

①证明：当直线与轴不平行时，有，

方法一：由抛物线定义知，，．

所以

，

所以

方法二：因为、、、四点共线，、中点为，

若，则必有中点与、中点重合，即，

因为，所以．

②由（1）知抛物线方程为．所以．

所以过点的切线，即．

同理可得，过点的切线为．

由，方程联立，得，

解之，得，

又得，所以．

到的距离，

，

从而

．

22．【解析】（1）函数的定义域为．

当时，，所以，

易知在上单调递增，且．

则在上，在上，

从而在上单调递减，在上单调递增．

（2）证明：，所以，且．

设，则，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

由即，设

，则在上单调递增且．

则当时，都恰有一个，使得，

且当时，当时，

因此总有唯一的极小值点．

所以，从而，

极小值

由，可得当时，即，

随增大而增大，易得．

令，则，设，

，所以在上单调递减，且，从而．

即．