2021（全国1卷）高三下学期5月卫冕联考数学（理）含解析

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2021届高三卫冕联考

理数试卷

本试卷共4页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B＝{x|x2－4x<0}，则A∩B＝

A.{0，1，2，3}     B.{1，2，3}     C.{0，1，2}     D.{－1，1，2，3}

2.复数z＝的虚部为

A.－i     B.i     C.－     D.

3.已知e1，e2是两个夹角为的单位向量，a＝2e1＋4e2，b＝4e1－e2，则a·b＝

A.7     B.9     C.11     D.13

4.“a<8”是“方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

5.已知a＝log43，b＝log53，c＝log45，则

A.b<a<c     B.a<b<c     C.a<c<b     D.c<a<b

6.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表。根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htanθ。若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记θ1，θ2)，则tan(θ1－θ2)＝

A.     B.－     C.     D.－

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.48＋16     B.24＋16     C.48＋12     D.24＋12

8.已知双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C的渐近线上一点，|F1F2|＝|MF2|，∠F1F2M＝120°，则双曲线C的离心率为

A.     B.     C.     D.

9.为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织70名老师外出旅游，并给出了两种方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，则参照附表，得到的正确结论是

A.在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别无关”

C.有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”

D.有95%以上的把握认为“选择方案与性别无关”

附：

，n＝a＋b＋c＋d。

10.已知函数f(x)＝2sinxcosx＋sin2x－cos2x，则下列结论正确的是

A.f(x)的图象关于点(，0)对称

B.f(x)在[，]上的值域为[，]

C.若f(x1)＝f(x2)＝2，则x1－x2＝2kπ，k∈Z

D.将f(x)的图象向右平移个单位长度得g(x)＝－2cos2x的图象

11.已知f(x)的定义域为R，f(5)＝4，f(x＋3)是偶函数，任意x1，x22∈[3，＋∞)满足>0，则不等式f(3x－1)<4的解集为

A.(，3)     B.(，2)     C.(2，3)     D.(－∞，)∪(2，＋∞)

12.已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的体积为6，AB＝2，D是B1C1的中点，点P是线段A1D上的动点，过BC且与AP垂直的截面α与AP交于点E，则三棱锥P－BCE的体积的最小值为

A.     B.     C.2     D.

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为          。

14.二项式(x2＋1)(－1)7的展开式中的常数项为           。

15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2c＝3b，(2tanB＋tanA)sinA＝2tanBtanA，则角A＝           。

16.已知抛物线x2＝8y的焦点为F，准线为l，点P是l上一点，过点P作PF的垂线交x轴的正半轴于点A，AF交抛物线于点B，若PB与y轴平行，则|FA|＝           。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝20，Sn＝4n2＋kn。

(1)求an；

(2)若数列{bn}满足b1＝3，bn－bn－1＝an－1(n≥2)，求数列的前n项和Tn。

18.(本小题满分12分)

如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，BC⊥BB1，AB⊥BB1，AB＝BC＝BB1＝2A1B1，D，E分别为CC1，A1B1的中点。

(1)证明：DE//平面AB1C；

(2)若∠ABC＝120°，求平面AB1C和平面A1B1C所成锐二面角的余弦值。

19.(本小题满分12分)

某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m(m∈[100，400])，得到下图的频率分布直方图。并依据质量指标值划分等级如表所示：

(1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值的平均数(每组数据以区间的中点值为代表)；

(2)以样本分布的频率作为总体分布的概率，解决下列问题：

(i)从所生产的零件中随机抽取3个零件，记其中A级零件的件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

(ii)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有零件按400个一箱包装，已知一个A级零件的利润是12元，一个B级零件的利润是4元，试估计每箱零件的利润。

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点P(4，2)，且△PF1F2的面积为2。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1k2最大时，求直线l的方程。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ln(x＋m)－xe－x。

(1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0平行，求m的值；

(2)在(1)的条件下，证明：当x>0时，f(x)>0恒成立；

(3)当m>1时，求f(x)的零点个数。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝。

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若点P的直角坐标为(3，－1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x＋7|＋|2x＋2|。

(1)求不等式f(x)≥8的解集；

(2)已知f(x)的最小值为m，且正实数a，b满足a＋b＋c＝m，证明：≤9。