2021“超级全能生”高三全国卷地区5月联考试题（甲卷）数学（文）含解析

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“超级全能生”2021高考全国卷地区5月联考甲卷

数学(文科)

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|lg(x＋2)<0}，集合B＝{x|≥l}，则A∩B＝

A.(－2，0]     B.(－2，－1)     C.(－∞，0]     D.(－∞，－1)

2.若复数z满足z＝－2i，则|1＋z3|＝

A.3     B.8     C.     D.9

3.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器。某同学计划从“金、石、匏、竹、丝”5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为

A.     B.     C.     D.

4.已知a＝(1，2)，b＝(m，1)，c＝(3，－4)，若(a＋b)⊥c，则向量a，b夹角的正切值为

A.     B.1     C.     D.

5.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a32＋a52＋2a2a6＝8100，S4－S2＝36，则S2021＝

A.     B.     C.     D.

6.执行如图所示的程序框图，若输入S＝12，则输出n的结果为

A.18     B.14     C.20     D.22

7.已知直线l：x＋y－2＝0与圆心C(1，)，半径为5的圆相交于点M，N，若点P为圆C上一个动点，则△PMN的面积的最大值为

A.3     B.3     C.4     D.12

8.函数f(x)＝的部分图象大致为

9.已知α∈(，π)，sinα＋2cosα＝－1，则tan2α＝

A.－     B.－     C.     D.

10.已知抛物线M：y2＝8x的焦点为F，过F的直线交M于A，B两点，若S△AOB＝4(O为坐标原点)，则该直线的斜率为

A.     B.2     C.     D.2

11.如图所示的三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，∠ABC＝，若PA＝a，AB＝c，PB＝10，BC＝2，当ac取最大值时，点A到平面PBC的距离为

A.     B.     C.5     D.5

12.设双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与C的两支分别交于点A，B，若|AB|＝4a，＝0，则双曲线C的离心率为

A.2     B.     C.     D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若变量x，y满足约束条件，则z＝x－2y＋5的最小值为          。

14.曲线y＝3ex＋x2在点(0，3)处的切线方程为          。

15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，d＝2，设bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn为          。

16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，E，F分别是AD1，C1D的中点，则下列四个结论中成立的是          。(写出对应的序号)

①EB1//平面BC1D；②cos∠DC1B＝；③DF＝a；④长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球表面积为6πa2。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a(2－cosC)＝c(2cosB＋cosA)。

(I)求cosC；

(II)若S△ABC＝，sinC＋sin(A－B)＝2sin2B，求c。

18.(12分)

目前，我国大学生、白领和工薪阶层是网购人数最多的群体，一项调查显示女性网民成为网络购物的活跃人群，网购用户年龄大多集中在18～35岁，月收入集中在1500～3500元。网购大额产品的用户中，男性多于女性；收入更高的用户，网购金额和频率更高；35～45岁的网民，在各年龄段的用户中网络购物频率和金额最高。若全年网购超过40次定义为热衷于网购，现对某市网民进行“热衷网购与性别分布”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，其中热衷网购的占比。

(I)请根据图表中的数据，完成2×2列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为热衷于网购与性别有关？

(II)若在热衷网购网民中按照分层抽样的方法抽取的5名网民，再从中随机抽取2名网民，求这2人中恰有1人为男性的概率。

参考公式：，n＝a＋b＋c＋d。

附表：

19.(12分)

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝3，E是AB的中点。

(I)证明：EC⊥AB；

(II)求四棱锥C1－A1B1EA的体积。

20.(12分)

已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若＝，sin∠AF1F2＝。

(I)求E的标准方程；

(II)若直线l交E于P，Q两点，设PQ中点为M，O为坐标原点，|PQ|＝2|OM|，过点O作ON⊥PQ，求证：|ON|为定值。

21.(12分)

已知函数f(x)＝exsinx－ax(a∈R)，g(x)＝excosx。

(I)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；

(II)若函数F(x)＝f(x)－g(x)在(，π)上有两个极值点，求实数a的取值范围。

(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：(t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2(3＋sin2θ)＝12。

(I)求直线l的普通方程和C的直角坐标方程；

(II)若直线l与曲线C的交点为A，B，P为曲线C上的动点，若△PAB的面积最大值为S，求S的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝3|x－2|＋|x－m|(x∈R)，不等式f(x)<3的解集为(1，n)。

(I)求m，n的值；

(II)若三个实数a，b，c，满足a＋b＋c＝m。证明：(b＋c)2＋(a＋2b＋c)2＋(a＋b＋2c)2≥。