2021“超级全能生”高三全国卷地区5月联考试题（甲卷）数学（理）含解析

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“超级全能生”2021高考全国卷地区5月联考甲卷

数学(理科)

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|lg(x＋2)<0}，集合B＝{x|≥l}，则A∩B＝

A.(－2，0]     B.(－2，－1)     C.(－1，0]     D.(－1，0)

2.若复数z满足|z－i|＝1，z·i＝x＋i(x∈R)，则z在复平面内对应的点为

A.(1，1)     B.(1，－1)     C.(1，i)     D.(1，－i)

3.《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之。”“河图”“洛书”历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头。如图“洛书”中9个数字排列巧妙，“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。”横纵斜方向上的3个数字之和均为15，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个数，三个数字之和为15的概率为

A.     B.     C.     D.

4.已知点P为直线l：y＝x＋1上一点，点Q为圆C：(x－1)2＋y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为

A.－1     B.     C.1     D.－1

5.设sin20°＝m，cos20°＝n，化简＝

A.     B.－     C.     D.－

6.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)，若f(x)的图象过点(，0)，相邻对称轴的距离为，则f(x)的解析式可能为

A.f(x)＝－cos(2x＋)     B.f(x)＝2sin(x＋)

C.f(x)＝3cos(2x－)      D.f(x)＝4cos(x－)

7.(x＋y)2(x－2y)4的展开式中x2y4的系数为

A.88     B.104     C.－40     D.－24

8.已知菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为

A.     B.     C.     D.

9.函数f(x)＝的部分图象大致为

10.已知如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝

A.2     B.     C.     D.1

11.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，过点F的直线交C于A，B两点，△OAB的重心为点G，则点G到直线3x－3y＋1＝0的距离的最小值为

A.2     B.     C.     D.2

12.已知函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且x∈[1，e2]时，f(x)＝lnx，若x∈[2－e2，e2]时，方程f(x)＝k(x－2)有三个不同的根，则k的取值范围为

A.(，]     B.(－∞，)     C.(－，－]     D.(－，＋∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若变量x，y满足约束条件，则z＝x－2y＋5的最小值为          。

14.已知双曲线E：(a>0，b>0)，M(1，8)，过点M的直线交E于A，B两点，M为AB的中点，且直线AB与E的一条渐近线垂直，则E的离心率为          。

15.已知锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4，A＝，延长AB到点D，使sin∠BCD＝，则S△BCD＝          。

16.如图所示的三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，∠ABC＝，若PA＝a，AB＝c，PB＝10，BC＝2，当ac取最大值时，点A到平面PBC的距离为          。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a2＋10成等差数列，S3－a2＝10。

(I)求an与Sn；

(II)设bn＝log2(Sn＋2)·an，数列{bn}的前n项和记为Tn，求Tn。

18.(12分)

已知如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E为PC上一点，且PE＝2EC。

(I)求证：PC⊥平面BDE；

(II)求二面角A－BE－P的平面角的余弦值。

19.(12分)

核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测。通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染。某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取一部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测。以此类推，直到确定所有样本的结果。若每次检测费用为a元，记检测的总费用为X元。

(I)当n＝3时，求X的分布列和数学期望；

(II)(i)比较n＝3与n＝4两种方案哪一个更好，说明理由；

(ii)试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时，n＝5和n＝10两种方案哪一个更好(只需给出结论不必证明)。

20.(12分)

已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若＝，sin∠AF1F2＝。

(I)求E的标准方程；

(II)若直线l交E于P，Q两点，设PQ中点为M，O为坐标原点，|PQ|＝2|OM|，作ON⊥PQ，求证：|ON|为定值。

21.(12分)

已知函数f(x)＝x2＋ax－2a2lnx，a∈R。

(I)当a＝1时，求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线；

(II)求函数f(x)的单调区间；

(III)判断函数f(x)在区间(0，a2＋3a－8lna)上的单调性。

(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2(3＋sin2θ)＝12。

(I)求直线l的普通方程和C的直角坐标方程；

(II)若直线l与曲线C的交点为A，B，P为曲线C上的动点，若△PAB的面积最大值为S，求S的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝3|x－2|＋|x－m|(x∈R)，不等式f(x)<3的解集为(1，n)。

(I)求m，n的值；

(II)若三个实数a，b，c，满足a＋b＋c＝m。证明：(b＋c)2＋(a＋2b＋c)2＋(a＋b＋2c)2≥。