2021“超级全能生”高三全国卷地区4月联考试题（甲卷）数学（文）含解析

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“超级全能生”2021高考全国卷地区4月联考甲卷.

数学(文科)

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝{x∈Z|x2－5x－6<0}，则A∩B中元素的个数为

A.4     B.3     C.2     D.1

2.复数z满足＝－1＋2i，则|z|＝

A.     B.     C.     D.

3.如图，已知等边三角形ABC的外接圆是等边△EFG的内切圆，向△EFG内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是

A.     B.     C.     D.

4.已知函数f(x)＝，则f(f(4))＝

A.1     B.2     C.3     D.4

5.已知tan2α＝－，且α∈(π，)，则sinα＝

A.－     B.     C.－     D.

6.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是∠BAC的平分线，CD＝2BD，b＝2，则c＝

A.2     B.1     C.3     D.

7.已知正项等比数列{an}中，a2a8＋a4a6＝8，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝

A.10     B.9     C.8     D.7

8.执行如图所示的程序框图，若输入a＝2，b＝4，则输出S的值为

A.12     B.14     C.16     D.18

9.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，4)，t∈R，则|ta－b|的最小值为

A.     B.     C.2     D.10

10.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为

A.     B.     C.     D.

11.已知双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A(0，a)，a＝(1，－)，P为C右支上一点，当|PA|＋|PF1|取得最小值时，＝λa，则C的离心率为

A.     B.2     C.     D.

12.已知函数f(x)＝(x>0，e为自然对数的底数)，g(x)＝(a∈R)，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点，则a的取值范围为

A.(0，＋∞)    B.[e，＋∞)    C.[2－，＋∞)    D.(－∞，2－]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最小值为          。

14.已知函数f(x)＝ex＋2x，过点(1，2)作曲线y＝f(x)的切线，则函数的切线方程为          。

15.已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且＝a2，|PF2|＋|F2Q|＝4，则椭圆E的短轴长为        。

16.已知三棱柱ABC－A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，E，F分别是AB，AA1的中点，且AC＝BC＝2，AC⊥BC，AA1＝4，过点E作一个截面与平面BFC1平行，则截面的周长为         。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校100名性别不同的学生进行了调查。得到如下列联表。

(I)请将上述列联表补充完整；

(II)判断是否有99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关?

(III)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率。

附：，其中n＝a＋b＋c＋d。

18.(12分)

如图，在四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，E，F分别为SB，AD的中点。

(I)证明：EF//平面SCD；

(II)若∠BAD＝60°，SD＝4，AB＝2，求三棱锥C－DEF的体积。

19.(12分)

在递增等差数列{an}中，a2＋a4＝8，a1，a3，a7成等比数列。

(I)求数列{an}的通项公式；

(II)设数列的前n项和为Tn，证明：Tn<。

20.(12分)

已知椭圆的一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点相同，且点(1，)在椭圆上。

(I)求椭圆的标准方程；

(II)设过点(0，3)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且A，B与坐标原点O构成三角形，求△AOB面积的最大值。

21.(12分)

已知函数f(x)＝，g(x)＝，且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为x－2y＋n＝0。

(I)求m，n的值；

(II)证明：f(x)>2g(x)－1。

(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0。

(I)求曲线C和直线l的极坐标方程；

(II)直线l与曲线C相交于A，B两点，点P是曲线C上的一个动点，求△ABP的面积的最大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|。

(I)解不等式f(x)＋2<0；

(II)对任意的x∈R，f(x)≤m2＋2m恒成立，求m的取值范围。