2021“超级全能生”高三全国卷地区4月联考试题（甲卷）数学（理）含解析

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“超级全能生”2021高考全国卷地区4月联考甲卷

数学(理科)

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|lnx<2}，则A∩B＝

A.{x|－1≤x≤1}     B.{x|－1≤x<e2}     C.{x|0<x≤1}     D.{x|0<x<e2}

2.若复数z满足(z－|z|)(1＋i)＝－3－i，则z在复平面内对应的点所在象限为

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

3.如图，已知等边三角形ABC的外接圆是等边三角形EFG的内切圆，向△EFG内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是

A.     B.     C.     D.

4.已知圆C在第一象限与x，y轴和直线l：x＋y－2＝0都相切，则圆C的半径r＝

A.2－     B.2＋     C.1     D.2－或2＋

5.已知函数f(x)＝，则f(f(4))＝

A.1     B.2     C.3     D.4

6.已知函数f(x)＝cosωx＋sinωx(ω>0)的图象关于x＝对称，则ω的最小值为

A.1     B.     C.2     D.

7.已知a，b满足，|a|＋|b|＝a·b＝2，|a＋b|＝，则a与b夹角的余弦值为

A.     B.     C.     D.

8.化简＝

A.     B.     C.     D.2

9.已知(x＋4)5＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3＋a4(x＋2)4＋a5(x＋2)5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝

A.242     B.243     C.404     D.405

10.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，AA1＝6，D为CC1中点，E为BB1上一点，，∠A1AC＝60°，M为平面AA1C1C上一点，且BM//平面ADE，则点M的轨迹的长度为

A.1     B.     C.     D.2

11.已知双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A(0，a)，a＝(1，－)，P为C右支上一点，当|PA|＋|PF1|取得最小值时，＝λa，则C的离心率为

A.     B.2     C.     D.

12.已知函数f(x)＝(x>e，e为自然对数的底数)，g(x)＝(a∈R)，若f(x)－g(x)＝0有解，则a的取值范围为

A.(0，＋∞)    B.[e，＋∞)    C.[2－，＋∞)    D.(－∞，2－]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最小值为          。

14.已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且＝a2，|PF2|＋|F2Q|＝4，则E的标准方程为       。

15.已知△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，AB＝3，AC＝3，点D在BC上，∠BAD＋∠BAC＝π，记△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2，，则BC＝        。

16.在古代数学中把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导了方亭的体积公式，如图正四棱台的下底面边长为a，上底面边长为b，高为h，则体积V＝(a2＋ab＋b2)h，某景区计划在景区内挖一条景观河，河的横截面为等腰梯形，上口宽10米，下口宽6米，深2米，河的总长度为1638米(按直线长度计算)，把挖出的土堆成一个正四棱台形状的地基，设计地基的高为6米，侧面与底面所成的二面角为45°，则正四棱台地基的底面边长为            。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足3(a1＋a3)＝S4，且a1，a3＋1，a4成等差数列。

(I)求{an}的通项；

(II)设bn＝an·log2an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn>2021成立的n的最小值。

18.(12分)

为了考察购物商场播放背景音乐对消费者的购物消费是否有促进作用，某商场对往年同期的销售额进行了统计整理，在往年数据的基础上，比较播放背景音乐的楼层和不播放背景音乐的楼层与往年同期相比销售额是否上涨，得到了如表所示的2×2列联表：

(I)能否在犯错误的概率不超过0。01的前提下认为播放背景音乐对促进消费者消费有效果？

(II)为了进一步了解消费者对背景音乐的需求，该商场从播放背景音乐的楼层随机抽取10位幸运消费者，从不播放背景音乐的楼层分别随机抽取了5位幸运消费者赠送礼品并进行采访，然后又从15位幸运消费者中随机抽取3位进行深入调查，记抽取的3位幸运消费者中从播放背景音乐的楼层抽取的幸运消费者数为X，求X的分布列和数学期望。

(参考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d)

19.(12分)

已知梯形ABCD中，AB//CD，AB＝4，AD＝BC＝CD＝2，点E为AB中点，把△ADE沿DE折起，点A到达平面ABCD外一点P处，点F为AD中点。

(I)求证：PB//平面CEF；

(II)当PB＝时，求二面角D－CE－F的余弦值。

20.(12分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交E于A，B两点，设E的准线与x轴的交点为K，当S△KAF＝2S△KBF时，S△KBF＝。

(I)求抛物线E的标准方程；

(II)若点N(3，0)，M(－3，0)，过点N的直线l与E交于P，Q两点，求证：N点到直线MP和直线MQ的距离相等。

21.(12分)

已知函数f(x)＝mex－x(m∈R)有两个零点x1，x2，且x1<x2。

(I)求m的取值范围；

(II)当x2≥4x1时，不等式恒成立，求a的取值范围。

(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0。

(I)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C和直线l的极坐标方程；

(II)直线l与曲线C相交于A，B两点，点P是曲线C上的一个动点，求△ABP的面积的最大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|。

(I)解不等式f(x)＋2<0；

(II)对任意的x∈R，f(x)≤m2＋2m恒成立，求m的取值范围。