2021“超级全能生”高三全国卷地区4月联考试题（甲卷）数学（文）PDF版含解析

“超级全能生”2021高考全国卷地区4月联考甲卷

数学（文科）答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。

13．－　

14．(e2＋2)x－y－e2＝0　

15．2　

16. ＋2＋2　

三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

解答题评分标准

（1）导函数：

求单调区间过程要清楚，分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。

取值写成区间或者集合的形式，未写扣1分。

（2）选做题：

[极坐标方程]直角坐标方程转换需要过程，没有过程不得分。

[解不等式]解集要写成集合或区间，未写扣1分。

（3）具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。

（4）试题有不同解法时，解法正确即可酌情给分。

17．解：(Ⅰ)由表可知，100名学生中喜爱某种食品的学生有60人，

其中喜爱某种食品的男生有20人，不喜爱某种食品的女生有10人，

∴喜爱某种食品的女生有40人，(1分)

不喜爱某种食品的男生有30人，

则完成列联表如下：

(4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得K2＝＝≈16.667>10.828，(5分)

∴有99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关．(6分)

(Ⅲ)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，

则其中男生有20×＝2(人)，分别设为A，B；

女生有40×＝4(人)，分别设为1，2，3，4，(8分)

则从这6名学生中随机抽取2人有如下15种结果：AB，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，12，13，14，23，24，34，

其中恰好有1名男生喜爱某种食品有8种结果：A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，(10分)

∴所求的概率P＝.(12分)

18．解：(Ⅰ)证明：如图，取SC的中点G，连接DG，EG.

∵E是SB的中点，

∴EG是△SBC的中位线，(1分)

∴EG∥BC，EG＝BC.(2分)

又DF∥BC，DF＝BC，

∴EG∥DF，EG＝DF，(3分)

∴四边形EGDF是平行四边形，(4分)

∴EF∥DG.(5分)

又EF 平面SCD，DG 平面SCD，

∴EF∥平面SCD.(6分)

(Ⅱ)如图，连接AC，BD交于点O，连接EO，

∴BO＝OD，(7分)

∴EO∥SD，EO＝SD＝2.(8分)

又SD⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD.(9分)

在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，

∴S△CDF＝DF·CDsin120°＝×1×2×＝，(10分)

∴VC－DEF＝VE－CDF

＝EO·S△CDF

＝×2×

＝.(12分)

19．解：(Ⅰ)设递增等差数列{an}的公差为d(d>0)．

由得(2分)

解得或(舍)，(4分)

∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1(n∈N)．(6分)

(Ⅱ)证明：设bn＝，

由(Ⅰ)知bn＝＝＝3，(7分)

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝3＋3＋…＋3－   (9分)

＝3   (10分)

＝3   (11分)

＝－<.  (12分)

20．解：(Ⅰ)∵抛物线x2＝8y的焦点坐标为(0，2)，

∴椭圆的半焦距c＝2.

由题可知(2分)

解得a2＝8，b2＝4，(3分)

∴椭圆的标准方程为＋＝1.(4分)

(Ⅱ)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∵A，B，O三点构成三角形，所以直线l的斜率存在且不为0，

则可设直线l的方程为y＝kx＋3.

联立

消去y整理得(2＋k2)x2＋6kx＋1＝0.(5分)

由Δ>0得36k2－4(2＋k2)>0，

即k2－>0，(6分)

∴x1＋x2＝－，x1x2＝，(7分)

∴|AB|＝

  ＝

      ＝2.

易知，点O到直线l：y＝kx＋3的距离h＝，(8分)

∴S△AOB＝|AB|h

  ＝×2×

  ＝3·.(9分)

设＝t(t>0)，

则k2＝，

∴＝＝≤，(10分)

当且仅当t＝3，即k2＝时等号成立，(11分)

∴△AOB面积的最大值为3×＝2.(12分)

21．解：(Ⅰ)由已知得f(1)＝＝0，

∴n＝－1.(2分)

∵f′(x)＝＝，

∴f′(1)＝＝，

解得m＝1.(5分)

(Ⅱ)证明：设h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，由h′(x)>0得x>0；由h′(x)<0得x<0，

∴h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，

∴h(x)在x＝0处取得最小值为h(0)＝0，

∴当x>0时，ex>x＋1，∴<，

∴<.(8分)

要证f(x)>2g(x)－1，则>－1在(0，＋∞)上恒成立，只需使≥－1在(0，＋∞)上恒成立，即lnx＋－1≥0在(0，＋∞)上恒成立．(10分)

设H(x)＝lnx＋－1，则H′(x)＝，

由H′(x)>0得x>1；

由H′(x)<0得0<x<1，

∴H(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴H(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，为H(1)＝0，即lnx＋－1≥0在(0，＋∞)上恒成立，

∴原不等式成立．(12分)

22．解：(Ⅰ)将(α为参数)中的参数α消去得

x2＋y2＝4，(2分)

将x2＋y2＝ρ2代入上式得ρ2＝4，

∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2.(3分)

将x＝ρcosα，y＝ρsinα代入直线方程x－y＋2＝0得

直线l的极坐标方程为ρcosα－ρsinα＋2＝0.(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线C是圆心为(0，0)，半径R＝2的圆．

设P(2cosθ，2sinθ)，则坐标原点O到直线l的距离

d＝＝，

点P到直线l的距离h＝，

∴|AB|＝2＝2＝2，(7分)

∴S△ABP＝|AB|h

＝×2×

＝.(8分)

又∵θ∈[0，2π)，∴θ＋∈，

∴≤2＋2，(9分)

∴△ABP面积的最大值为2＋2.(10分)

23．解：(Ⅰ)由题意，f(x)＝|x－2|－|x＋1|

＝(2分)

则f(x)＋2<0等价于或

或(4分)

∴所求不等式的解集为.(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝|x－2|－|x＋1|

＝

作出函数的图象如图所示，

∴－3≤f(x)≤3，(8分)

∴对任意的x∈R，f(x)≤m2＋2m恒成立等价于 m2＋2m≥3，(9分)

∴m的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(10分)