2021“超级全能生”高三全国卷地区4月联考试题（丙卷）数学（理）含解析

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“超级全能生”2021高考全国卷地区4月联考丙卷

数学(理科)

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∩B＝

A.{x|2≤x≤3}     B.{x|2<x≤3}     C.{x|2<x<3}     D.{x|2≤x<3}

2.已知复数z＝，则＝

A.3＋4i     B.3－4i     C.－3＋4i     D.－4－3i

3.函数f(x)＝的部分图象大致为

4.若cosθ＝，θ∈(0，π)，则sin(＋)＝

A.     B.     C.      D.

5.已知递增等差数列{an}，a1＝1，且a2为a1＋1与a3＋1的等比中项，则公差d＝

A.1     B.1或－3     C.3或－1     D.3

6.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝log(x2＋2)，则f(－2021)＝

A.1     B.lg9     C.lg3     D.0

7.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是

A.     B.     C.     D.

8.已知双曲线E：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E左支上位于第二象限的一点，若直线PF2与E的右支相交于Q，且满足，|QF2|＝b，则E的渐近线方程为

A.y＝x     B.y＝x     C.y＝3x     D.y＝x

9.斐波那契数列(Fibonacci sequence)是数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…在数学上，斐波那契数列{an}用递推关系：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an来刻画。执行如图所示的程序框图来计算该数列的第2021项，则(1)(2)处分别填入的是

A.T＝S－T，n≥2020？     B.T＝S－T，n≥2021？

C.T＝S，n≥2020？        D.T＝S，n≥2021？

10.若a＝，b＝，c＝，则

A.a<c<b     B.a<b<c     C.b<a<c     D.b<c<a

11.设f(x)＝e2x－a，g(x)＝ln(x＋a)(a∈R)，若不等式f(g(x))－g(f(x))>0恒成立，则a的取值范围为

A.[0，1]     B.(1，＋∞)     C.[－1，1]     D.(－∞，1]

12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的体积为108π，若E，F，G，H分别为棱A1D1，AB，BC，A1B1的中点，则三棱锥H－EFG内切球的半径为

A.3＋3     B.3－3     C.3－     D.2－

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a＝(t，－2)，b＝(3，2＋t)(t≠0)，且满足|3a＋b|＝5，则t＝         。

14.记Sn为等比数列{an}的前n项和，公比为q(q≠1，q∈N*)，满足anSn＝2an2－an＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝         。

15.已知(m－2x)5展开式中各项系数和为32，()n的展开式中二项式系数和为512，则()n展开式中常数项为         。(用数字作答)

16.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F与椭圆E：的一个焦点重合，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OM，ON，与C分别交于M，N，则直线MN过定点          。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4acsinBcosB＝a2sin2C＋c2sin2A。

(I)求B；

(II)若c2＋a2＋ac＝16，求△ABC面积的最大值。

18.(12分)

如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，点E是棱AA1的中点，且异面直线BD与CD1所成角的余弦值为。

(I)证明：AC//平面B1DE；

(II)求锐二面角B1－ED－B的余弦值。

19.(12分)

2021年2月11日20：00整，中央电视台辛丑牛年春节联欢晚会隆重举行。晚会中，华美的舞台令观众沉醉，震撼的科技让酷炫尽显，饱含深情的歌曲、充满感染力的舞蹈、笑中有思的相声小品等一个个节目将过去一年来我国取得的举世成就生动、形象、深刻地呈现出来，描绘出逐梦中国的万千气象，携着吉祥的祝福与全国人民一同迈入新的春天。为了了解电视观众对晚会的整体评价，某调查机构通过不同途径调查了大量完整收看了春晚节目的电视观众的评分(满分100分)，并对其进行统计分析，制作了如图的频率分布直方图：

(I)试估算春晚评分的平均值；

(II)假设评分在60分以上的，则认为观众对春晚是满意的；不足60分，则认为观众对春晚是不满意的。研究者从样本中抽取了年龄在45岁以上和45岁以下的观众各100名，发现年龄在45岁以上的100名的观众中满意的有60人，年龄在45岁以下的观众中满意的有35人，请结合独立性检验的思想，完成下列列联表，并分析是否有99.9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关？

(III)由问题(II)，现从45岁以上的观众中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，并从这10人中随机选出3人颁发参与奖励，设获得参与奖励的不满意的观众人数为X，求X的分布列及数学期望。

附：

，n＝a＋b＋c＋d。

20.(12分)

已知函数f(x)＝ax2－2lnx(a∈R)。

(I)若f(x)在(1，f(1))处的切线与直线6x－y＋8＝0平行，求f(x)的单调区间；

(II)已知函数g(x)＝－2(a－1)x＋2，且不等式f(x)－g(x)≥0在x∈(0，＋∞)恒成立，求a的最小整数值。

21.(12分)

已知椭圆E：过点M(，)，F1，F2为E的左、右焦点，且满足|F1F2|<4，cos∠F1MF2＝。

(I)求E的方程；

(II)过F1作互相垂直的直线l1与l2分别与E交于A，B和C，D，求|AB|＋|CD|的取值范围。

(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

已知点C(－1，0)，P(－1，2)，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若C1与C2相交于A，B两点且|AB|＝2。

(I)求C1的普通方程，C2的极坐标方程；

(II)求的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|2x－1|－|2－x|(x∈R)。

(I)解不等式f(x)≥－2x＋；

(II)记不等式f(x)≥－2x＋解集中元素数值最小值为m，若正实数a，b，c满足a＋b＋c＝2m，证明：(9－3b－ac－a2)(a＋b)≥8abc。