2021“超级全能生”高三全国卷地区4月联考试题（丙卷）数学（文）含解析

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“超级全能生”2021高考全国卷地区4月联考丙卷

数学(文科)

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|y＝ln(x＋1)}，B＝{x|x2－x－6≤0}，则A∩B＝

A.(－2，3]     B.(－1，3]     C.(－3，2]     D.(－1，3)

2.已知复数z＝1＋i2021，则＝

A.2＋i     B.2－i     C.1－i     D.1＋i

3.函数f(x)＝的部分图象大致为

4.安排甲.乙、丙三位志愿者到编号为1，2，3的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则

甲恰好不安排到3号教室的概率为

A.     B.     C.     D.

5.将曲线f(x)＝2sin(x－)图象上所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到g(x)的图象，则下列说法正确的是

A.f(x)的图象关于点(，0)对称

B.f(x)的周期为π

C.g(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)

D.g(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)

6.已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)>f(－3－x2)对∀x∈(0，3]恒成立，则a的取值范围为

A.[－1，＋∞)     B.(3，＋∞)     C.[0，＋∞)     D.(1，＋∞)

7.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过C的焦点F作斜率为的直线l交C于A，B两点，若S△ABO＝2，则p为

A.1     B.     C.2     D.4

8.在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为底面正方形对角线的交点，AB＝4，AA1＝4，P为棱CC1的中点，则下列说法不正确的是

A.BD⊥平面PCE     B.BD⊥PE     C.cos∠BPD＝     D.|A1C|＝8

9.斐波那契数列(Fibonacci sequence)是数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…在数学上，斐波那契数列{an}用递推关系：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an来刻画。执行如图所示的程序框图来计算该数列的第2021项，则(1)(2)处分别填入的是

A.T＝S－T，n≥2020？     B.T＝S－T，n≥2021？

C.T＝S，n≥2020？        D.T＝S，n≥2021？

10.数列{bn}满足bn＋1＝，若b1＝，则{bn}的前n项和为

A.1－     B.1－     C.2－     D.2－

11.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F与椭圆E：的一个焦点重合，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OM，ON，与C分别交于M，N，则直线MN过定点

A.(4，0)     B.(－4，0)     C.(－1，0)     D.(1，0)

12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的体积为108π，若E，F，G，H分别为棱A1D1，AB，BC，A1B1的中点，则三棱锥H－EFG内切球的半径为

A.3＋3     B.3－3     C.3－     D.2－

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a＋2b＝(2，1)，2a－b＝(9，－8)，a，b的夹角为θ，则cosθ＝          。

14.已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a3－1成等差数列，则{an}的通项公式an＝       。

15.若变量x，y满足约束条件，则z＝x＋3y－3的取值范围为          。

16.已知双曲线E：(a>0，b>0)，过其右焦点F的直线交E于A，B两点，交y轴于P点。且，，则E的离心率为         。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosBsinA＋bsin2A＝2acosC。

(I)求tanC的值；

(II)设△ABC的内切圆半径为r，若c＝4，求△ABC的面积取最大值时r的值。

18.(12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，PD⊥平面ABCD，AD⊥BD，AB//CD，2PF＝FC，AD＝，BC＝，∠BDC＝，PD＝CD。

(I)证明：AP//平面BDF；

(II)求三棱锥A－DCF的体积。

19.(12分)

2021年2月11日20：00整，中央电视台辛丑牛年春节联欢晚会隆重举行。晚会中，华美的舞台令观众沉醉，震撼的科技让酷炫尽显，饱含深情的歌曲、充满感染力的舞蹈、笑中有思的相声小品等一个个节目将过去一年来我国取得的举世成就生动、形象、深刻地呈现出来，描绘出逐梦中国的万千气象，携着吉祥的祝福与全国人民一同迈入新的春天。为了了解电视观众对晚会的整体评价，某调查机构通过不同途径调查了大量完整收看了春晚节目的电视观众的评分(满分100分)，并对其进行统计分析，制作了如图的频率分布直方图：

(I)试估算春晚评分的平均值及中位数(保留两位小数)；

(II)假设评分在60分以上的，则认为观众对春晚是满意的；不足60分，则认为观众对春晚是不满意的。研究者从样本中抽取了年龄在45岁以上和45岁以下的观众各100名，发现年龄在45岁以上的100名的观众中满意的有60人，年龄在45岁以下的观众中满意的有35人，请结合独立性检验的思想，完成下列列联表，并分析是否有99。9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关？

附：

，n＝a＋b＋c＋d。

20.(12分)

已知椭圆C：的短轴长为2且经过点P(，)。

(I)求C的方程；

(II)若直线l与C相交于两点M，N(非C的顶点)且△MON的面积等于，证明：kOM·kON为定值。

21.(12分)

已知函数h(x)＝a2x－a－(其中a∈R)，g(x)＝ex－x。

(I)若函数f(x)＝x·h(x)，讨论f(x)的单调性；

(II)当a＝1时，证明：g(x)＋h(x)≥0。

(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

已知点C(－1，0)，P(－1，2)，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若C1与C2相交于A，B两点且|AB|＝2。

(I)求C1的普通方程，C2的极坐标方程；

(II)求的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|2x－1|－|2－x|(x∈R)。

(I)解不等式f(x)≥－2x＋；

(II)记不等式f(x)≥－2x＋解集中元素数值最小值为m，若正实数a，b，c满足a＋b＋c＝2m，证明：(9－3b－ac－a2)(a＋b)≥8abc。