2021北师大万宁附中高三下学期5月底模拟考试数学试题含答案

这是一份2021北师大万宁附中高三下学期5月底模拟考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大万宁附中2021年高考5月底模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则集合的子集的个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．52．若，则（    ）A．1 B．-1 C． D．3．若的展开式中的系数为15，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．54．已知直线：，：，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件5．已知的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（    ）A． B． C． D．6．已知，，，则（    ）A． B． C． D．7．我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图，从左至右依次为：,#,,,,#,,#,,#,,）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（    ）A． B． C． D．#8．已知的图象关于坐标原点对称，且对任意的，恒成立，当时，，则（    ）A．-1 B． C． D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（    ）A．甲、乙两组成绩的平均分相等 B．甲、乙两组成绩的中位数相等C．甲、乙两组成绩的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差10．已知，为两个不重合的平面，，为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则11．函数，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．函数在上为增函数C．函数的图象关于点对称D．函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．若，则在区间上单调递减B．若，则C．若，则有两个零点D．若，则曲线上存在在相异两点，处的切线平行三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若且方向相反，则______．14．抛掷3个骰子，事件为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则______． 15．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点满足，则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为______．16．在上、下底面均为正方形的四棱台中，已知，，，则该四棱台的表面积为______；该四棱台外接球的体积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①；②；③面积这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，为锐角，，，且______，求的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列满足．（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前项和．19．（12分）2021年，我国新型冠状病毒肺炎疫情已经得到初步控制，抗疫工作取得阶段性胜利．某市号召市民接种疫苗，提出全民“应种尽种”的口号，疫苗成了重要的防疫物资．某疫苗生产厂不断加大投入，高速生产，现对其某月内连续9天的日生产量（单位：十万支，）数据作了初步统计，得到如图所示的散点图及一些统计量的数值：2.7219139.091095注：图中日期代码1～9分别对应这连续9天的时间；表中，，．（1）从这9天中随机选取3天，求这3天中恰有2天的日生产量不高于三十万支的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，求关于的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万支．参考公式：回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式为： ，．参考数据：20．（12分）如图，长方体被经过的动平面所截，分别与棱，交于点，，得到截面，已知，．（1）求证：；（2）若直线与截面所成角的正弦值为，求的长．21．（12分）已知双曲线：（，）的两条渐近线所成的锐角为60°，且点为上一点．（1）求的标准方程；（2）设为在第一象限的任一点，过的直线与恰有一个公共点，且直线分别与的两条渐近线交于点，，设为坐标原点，证明：面积为定值．22．（12分）（1）已知函数，讨论的单调性；（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，． 数学  参考答案一、选择题123456789101112CCBCCADBBCDBCACAB二、填空题13．-1 14． 15． 16．；16．在等腰梯形中，过作，垂足为，易求，．则四棱台的表面积为．设，．由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥（如图），因为，，可知与相似比为1:2；则，，则，则，即该四棱台的高为．由于上、下底面都是正方形﹐则外接球的球心在上，在平面上．由于，，则，即点到点与到点的距离相等，同理到，，，，，的距离均为，于是为外接球的球心，且外接球的半径，故该四棱台外接球的体积为．三、解答题17．解：，代入，得，又为锐角，故．若选①，，由，得．又，即，，得．∴周长为．若选②，，即．化简得，即，解得或（舍）．故，此时为等边三角形，周长为．若选③，，得．又，即，，得．∴周长为．18．解：（1）由题意：，①当时，，②①－②得，即,当时，满足上式，所以．（2）因为，所以，所以．19．解：（1）记所求事件为，9天中日产量不高于三十万支的有5天．．（2）∵，∴，，．∴．∴，∴．令，解得．∴，即该厂从统计当天开始的第14天日生产量超过四十万支．20．解：（1）以为原点，分别以，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．则，，，，．设，则，而，所以，所以．（由向量相等可得）（2）因为，，，设平面的法向量为，则，令，则，设直线与截面所成角为，所以，解得，所以．21解：（1）由题意，双曲线在一三象限的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或．当时，的标准方程为，代入，无解．当时，的标准方程为，代入，解得．故的标准方程为．（2）直线斜率显然存在，设直线方程为，与联立得：．由题意，且，化简得：．设，，将与联立，解得；与联立，解得．．由，∴，故面积为定值．22．解：（1）解：．设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增． 设，由得或．①若，则，所以在单调递增．②若，则，故当时，；当时，，所以在，单调递增，在单调递减．③若，则，故当时，；当时，，所以在，单调递增，在单调递减．（2）证明：由题意可知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则,于是得，令，即，于是．当时，,从而，有，，从而函数在单调递增，又，所以时，，即．