2021太原五中高三下学期第二次模拟考试数学（理）含答案

这是一份2021太原五中高三下学期第二次模拟考试数学（理）含答案，文件包含二模答案docx、2021届校二模试题理科doc、太原五中20202021学年度第二学期月考高三数学理-答题卡pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
1. B     2. D     3. B    4. D5. A  【解析】，故选A.6. A     7. D      8. C    9. B 10. A  【解析】因为正四棱锥，所以底面是正方形，结合高为2，，
设底面对角线交点为M，所以，，故，
所以是等腰直角三角形．
因为截面过PM的中点N，所以N为截面正方形的中心，且截面．
，设球心为O，球的半径为R，则．
在直角三角形中，，．
在直角三角形APM中，，即，
解得，故．
故选：A．
 11. D12. D 【解析】有两种情况：（1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限.如图，设△OAB内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，又，所以，所以，从而可得. （2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限.如图，易知，，，所以的内切圆半径为，所以，又因为，所以，所以，则，从而可得.综上，双曲线C的离心率为.故选D.13.  14.  5,  15.   【解析】考试的成绩服从正态分布，，
，
即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的．
 16.  【解析】解：作出的图象如图所示，因为，所以，即，
所以，由图可知，
令，则，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故答案为：．
注意多变量化为单变量17．已知等差数列的前项和为，且，.数列满足.（1）求和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证.【解答】(1)设公差为，由题可知：         …………………………（2分）当时，，                    ………………………………（3分）当时， ，   ……………………（5分）                            ………………………………（6分）（2）                     ………………………………（7分）                       ………………………………（10分）                        ………………………………（12分）18． 叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.    (1) 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.                                               ………………………………（1分）已知于点，求证：.                                            ………………………………（2分）证明：在内引直线，则是二面角的平面角。                                           ………………………………（4分）由可知：又                                 ………………………………（6分）(2)已知，求证.                         ………………………………（7分）证明：在内任取一点，过在内作于，于由上述定理可知：                                                ………………（10分）                                          ………………（11分）同理可得.                                         ………………（12分）19．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量．最近，某研究性学习小组就是否观过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查，调数据如表（单位：人）． 是否合计青年401050中年302050合计7030100（1）是否有的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的概率：（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差．【解答】解：（1）  …………………（2分）所以有的把握认为看此电影与年龄有关.            ………………………（3分）（2）依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中，观看过电影的有（人），没观看过的有2人，  …………………………（4分）记抽取的3人中有i人观看过电影为事件Ai（i＝1，2，3）．则，，      …………………………（6分）从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人看过该电影的概率为：．                                ………………………………（8分）（3）由题意知，观看过该电影的频率为，将频率视为概率，…………………（9分）则随机变量ξ服从二项分布，所以随机变量ξ的数学期望为，………………………………（11分）方差为．          ………………………………（12分）20．已知椭圆C：1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A（﹣3，0），B（3，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x＝4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究△BMO与△NMO的面积之比是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a＝3，又e，∴c，  …………………（2分）则b．                             …………………………（3分）∴椭圆C的方程为                  ………………………………（4分）（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），则．∴直线AP的方程为，取x＝4，可得点E（4，），                 ………………………………（5分）∵直线BE的斜率为，∴直线l的方程为，                 ………………………………（6分）又直线PB的方程为，联立直线l与PB的方程，消去y得，∴，①                    ……………………………（8分）∵，∴，           ………………………………（9分）代入①解得点N的横坐标，即N点轨迹方程为：   ……………（10分）∴．故△BMO与△NMO的面积之比为4：7．         ………………………………（12分）21．已知函数f（x）＝x﹣aex（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f（x）2x+（a﹣1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＞λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解（1）因为数f（x）＝x﹣aex（a∈R），所以f′（x）＝1﹣aex．…（1分）当a≤0时，因为ex＞0，所以f′（x）＞0，此时函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．…………（2分）当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln．当x时，f′（x）＞0，当x时，f′（x）＜0．…………………………（4分）此时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），f（x）的单调递减区间为（ln）．综上所述：当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），f（x）的单调递减区间为（ln）．                               ………………………………（5分）（2）因为g（x）＝f（x）2x+（a﹣1）x，所以g′（x）＝e2x﹣aex+a．                    ………………………………（6分）依题意，，解得a＞4．            ………………………………（7分）因为x1和x2是g（x）的极值点，所以，则x1+x2＝lna．                                ………………………………（8分）所以g（x1）+g（x2）＝（）+（），，＝alna﹣a．所以，由g（x1）+g（x2）＞λ（x1+x2），可得alna﹣a＞λlna①，因为a＞4，lna＞0，所以①等价于．                       ………………………………（10分）令φ（x）＝x，则φ′（x），（x∈（4，+∞）），由于，        ………………………………（11分）所以φ′（x）＞0，所以φ（x）在（0，+∞）单调递增，且φ（4）＝4．所以，φ（a）．所以λ的取值范围是．            ………………………………（12分）22．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：．（Ⅰ）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（Ⅱ）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线的普通方程为x+y﹣1＝0．                              ………………………………（2分）曲线C的极坐标方程是：，根据，转换为直角坐标方程为．                        ………………………………（5分）（Ⅱ）P（0，1）在直线l上，把直线的参数方程为（t为参数）代入，得到，                      ………………………………（8分）所以．                     ………………………………（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|（a∈R）．（1）当a＝4时，解不等式f（x）＜8；（2）记关于x的不等式f（x）≤2|x﹣3|的解集为M，若[﹣4，﹣1]⊆M，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝4时，f（x）＝|x﹣4|+2|x+1|，不等式可转化为，   ………………………………（2分）若f（x）＜8，或或           ………………………………（3分）解得：﹣2＜x＜﹣1或﹣1≤x＜2或x∈∅，         ………………………………（4分）综上，不等式的解集是（﹣2，2）．               ………………………………（5分）（2）若[﹣4，﹣1]⊆M，f（x）≤2|x﹣3|，即当x∈[﹣4，﹣1]时，|x﹣a|+2|x+1|≤2|x﹣3|恒成立， ………………………………（6分）∵在[﹣4，﹣1]上，x+1≤0，x﹣3≤0，∴|x+1|＝﹣x﹣1，|x﹣3|＝3﹣x，                ∴f（x）≤2|x﹣3|等价于|x﹣a|≤8，即﹣8≤x﹣a≤8，………………………………（8分）∵当x∈[﹣4，﹣1]时该不等式恒成立，∴，                             ………………………………（9分）解得﹣9≤a≤4．即a的范围是[﹣9，4]．                         ………………………………（10分）