2021沈阳二中高三下学期5月第五次模拟考试数学试题含答案

这是一份2021沈阳二中高三下学期5月第五次模拟考试数学试题含答案，共25页。试卷主要包含了考试结束后，考生将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
沈阳二中2021年21届高三第五次模拟考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色水性笔答在答题卡上.在本试卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则A∩B＝（　　）
A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）
2．复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a的取值是（　　）
A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
3．已知，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
5. 浑河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为，东水流速度的大小为.设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）
A． 在东侧
B． B．在西侧
C． 恰好与重合
D． D．无法确定
6. 已知点的坐标为，将向量绕原点逆时针方向旋转到的位置，则点坐标为（ ）
A． B． C. D.
7. 函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为______.(e为自然对数的底）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥A﹣BCD中，底面BCD是边长为2的正三角形，侧面ABD⊥底面BCD，且AB＝AD＝2，则该几何体的外接球的表面积为（　　）
A．12π B．16π C．20π D．24π
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．1 B．2
C． D．a2+a＜b2+b
10.下列说法不正确的是________________
A．等比数列，，，则
B．抛物线的焦点
C．命题“”的否定是：“”
D．两个事件A、B，“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件。
11．已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．直线的倾斜角为
C．圆的面积等于 D．与的面积之比为
12．如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）

A．存在某个位置，使得
B．翻折过程中，的长是定值
C．若，则
D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是_________.
14.《红楼梦》，中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，一般认为是清代作家曹雪芹所著。《红楼梦》是一部具有世界影响力的人情小说，举世公认的中国古典小说巅峰之作，中国封建社会的百科全书，传统文化的集大成者。《红楼梦》三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社。诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉。”诗社成员有8人林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨。若林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，共有________种排列方法。（用数字作答）
15.过点且与圆相切的直线方程为_______________
16.下列说法正确的是______________
① 函数与函数关于直线对称
②若A、B、C两两独立，则=
③方程（其中C为复数集）的解集为
④，角A的外角分线交BC的延长线于点D，则
⑤通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，可知过点
⑥通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3.
⑦已知点为原点，则向量在向量上的投影的数量为
第Ⅱ卷
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
在①，，且，②，③的面积为，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答.
在，角，，的对应边为，，，且_________.
（1）求角；
（2）若的外接圆半径，求周长的最大值.
18．（本小题12分）
已知等差数列的前项和为，，，数列的项和为.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2021项和.
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，，且，E，F分别是，的中点.

（Ⅰ）若D是的中点，求证：平面AEF；
（Ⅱ）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线与平面AEF所成的角为？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由.
20. （本题满分12分）
马拉松（Marathon）长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合为42.195千米（也有说法为42.193千米）。分全程马拉松（Full Marathon）、半程马拉松（Half Marathon）和四分马拉松（Quarter Marathon）三种。以全程马拉松比赛最为普及，一般提及马拉松，即指全程马拉松。2021年沈阳国际马拉松将于9月19日在辽宁沈阳举行，本次“沈马”获评“2021世界田联标牌”赛事。为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某高中选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：

喜欢跑步
不喜欢跑步
合计
男生
80


女生

20

合计



已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．
（1）判断是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望
参考公式及数据：，其中．

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

21. （本题满分12分）
已知函数．(e为自然对数的底）
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）证明有唯一的极值点，且．
22．（本题满分12分）
已知抛物线的焦点，若平面上一点到焦点与到准线的距离之和等于7．
(1)求抛物线的方程；
(2)又已知点为抛物线上任一点，直线交抛物线于另一点，过作斜率为的直线交抛物线于另一点，连接 问直线是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由．





2021年沈阳二中21届高三第五次模拟考试答案
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色水性笔答在答题卡上.在本试卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则A∩B＝（　　）
A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）
【答案】C
【解析】∵集合，∴A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＜2}，
∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：C．
2．复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a的取值是（　　）
A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】D
【解析】∵z＝（a2﹣1）+（a+1）i是纯虚数∴a2﹣1＝0且a+1≠0，解之得a＝1故选：D．
3．已知，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴3，解得tanα＝2，
∴sin2α．故选：A．
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
B

5.浑河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为，东水流速度的大小为.设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头的正北方向。那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）

A．在东侧 B．在西侧
C．恰好与重合 D．无法确定
【答案】A
【详解】
解：建立如图如示的坐标系，
由题意可得，
所以，
说明船有轴正方向的速度，即向东的速度，
所以该游船航行到达北岸的位置应在东侧，
故选：A

6.已知点的坐标为，将向量绕原点逆时针方向旋转到的位置，则点坐标为（ ）
A． B． C. D.
A

7.函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为______.(e为自然对数的底）
A． B． C． D．
【答案】
【详解】
因为关于轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，方程有解.
时符合题意.
时转化为有解，即，的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.

故答案为：
8．已知三棱锥A﹣BCD中，底面BCD是边长为2的正三角形，侧面ABD⊥底面BCD，且AB＝AD＝2，则该几何体的外接球的表面积为（　　）
A．12π B．16π C．20π D．24π
【答案】C
【解析】如图，设底面正三角形的外心为G，侧面三角形ABD的外心为H，

过G作底面垂线，过H作侧面ABD的垂线，相交于O，则O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，
由已知可得OH＝GE，
sin∠ABD，设三角形ABD的外接圆的半径为r，
则，即r＝2．在Rt△BHO中，可得BH2＝OH2+BH2＝5，
∴该几何体的外接球的表面积为4πR2＝20π．故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9.若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．1 B．2
C． D．a2+a＜b2+b
【答案】ABD
【解析】当a＜b＜0时，1不成立，当时，不成立，
因为0，则一定成立，
因为a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b+1）符号不定，故a2a＜b2+b不一定成立．故选ABD．
10.下列说法不正确的是________________
A．等比数列，，，则
B．抛物线的焦点
C．命题“”的否定是：“”
D．两个事件A、B，“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件。
ABCD
11．已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．直线的倾斜角为
C．圆的面积等于 D．与的面积之比为
【答案】ACD
【详解】
根据题意可得，，解得，
所以双曲线的方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，故选项A正确；
因为以为直径的圆过点，所以，根据（1）渐近线为，可得渐近线倾斜角，易知，
所以，所以直线的倾斜角为或，故选项B错误；
根据双曲线的对称性，不妨设直线的倾斜角为，由可得直线的方程为，分别与渐近线方程和联立，解得或，则，，此时，
故圆的半径，其面积，故选项C正确；
因为为与的公共边，所以与的面积之比等于，故选项D正确.
故选：ACD

12．如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）

A．存在某个位置，使得
B．翻折过程中，的长是定值
C．若，则
D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
【答案】BD
【详解】
如图1，取中点，取中点，连结交于点，连结，，,

则易知，，，，，
由翻折可知，，，
对于选项A，易得，则、、、四点共面，由题可知，若，可得平面，故，则，不可能，故A错误；
对于选项B，易得，
在中，由余弦定理得，
整理得，
故为定值，故B正确；
如图2，取中点，取中点，连结，，，，，

对于选项C，由得，若，易得平面，故有，从而，显然不可能，故C错误；
对于选项D，由题易知当平面与平面垂直时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，此时平面，则，由，易求得，，故，因此，为三棱锥的外接球球心，此外接球半径为，表面积为，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______.
【答案】1215
【详解】
∵二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，
∴令，得，.
的展开式的通项公式为，
令，可得，
的展开式的常数项为.
故答案为：1215.
14.《红楼梦》，中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，一般认为是清代作家曹雪芹所著。《红楼梦》是一部具有世界影响力的人情小说，举世公认的中国古典小说巅峰之作，中国封建社会的百科全书，传统文化的集大成者。《红楼梦》三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社。诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉。”诗社成员有8人林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨。若林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，共有________种排列方法。（用数字作答）

14400
15.过点且与圆相切的直线方程为______________
或
16.下列说法正确的是______________
① 函数与函数关于直线对称
②若A、B、C两两独立，则=
③方程（其中C为复数集）的解集为
④，角A的外角分线交BC的延长线于点D，则
⑤通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，可知过点
⑥通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3.
⑦已知点为原点，则向量在向量上的投影的数量为
4,6，7
第Ⅱ卷
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
在①，，且，②，③的面积为，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答.
在，角，，的对应边为，，，且_________.
（1）求角；
（2）若的外接圆半径，求周长的最大值.
【答案】选择见解析；（1）；（2）6.
【详解】
（1）选①：∵，∴.
从而，则
，∴. ………………………………………………………………（5分）

选②：由边化弦得，∵.
∴，，∴. …………………………………………………………（5分）
选③∵.
∴，∴. ……………………………………………………（5分）
（2）由，得.
由余弦定理得：，即4
∴，从而周长，当且仅当时取等号.
…………………………………………………………（10分）
18．（本小题12分）
已知等差数列的前项和为，，，数列的项和为.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2021项和.
【答案】（1），；（2）.
【详解】
（1）设的公差为，由，得.
解得，，
所以.
时，，，也符合上式，
所以. …………………………………………………………（6分）
（2），注意取偶数时，，
所以 …………………………………………………………（8分）


…………………………………………………………（12分）
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，，且，E，F分别是，的中点.

（Ⅰ）若D是的中点，求证：平面AEF；
（Ⅱ）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线与平面AEF所成的角为？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，点M与点A重合.
【详解】
（Ⅰ）连接，，

因为D，E分别是，的中点，
故，平面，平面，
所以平面.
因为E，F分别是，的中点，
所以，证平面，平面，
所以平面，
又，平面，平面AEF，
所以平面平面，
又平面，所以平面AEF，
…………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）题意得AB，AC，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.
因为，.
设平面AEF的法向量为，
由，得，
令，得，，
所以平面AEF的一个法向量为.
设， …………………………………………………………（8分）
又，
所以.
若直线与平面AEF所成角为，
则

.
解得：或，即当点M与点A重合，
或时，直线与平面AEF所成的角为.
…………………………………………………………（12分）
20. 马拉松（Marathon）长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合为42.195千米（也有说法为42.193千米）。分全程马拉松（Full Marathon）、半程马拉松（Half Marathon）和四分马拉松（Quarter Marathon）三种。以全程马拉松比赛最为普及，一般提及马拉松，即指全程马拉松。2021年沈阳国际马拉松将于9月19日在辽宁沈阳举行，本次“沈马”获评“2021世界田联标牌”赛事。为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某高中选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：

喜欢跑步
不喜欢跑步
合计
男生
80


女生

20

合计



已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．
（1）判断是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望
参考公式及数据：，其中．

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）答案见解析；（2）分布列见解析，.
【详解】（1）200名学生随机抽取1人是喜欢跑步的概率为0.6，
∴喜欢跑步的人数为，可得列联表如下：

喜欢跑步
不喜欢跑步
合计
男生
80
60
140
女生
40
20
60
合计
120
80
200
∴