2021黑龙江省实验中学高三下学期第四次模拟考试理数含答案

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考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，全集，则图中阴影部分表示的集合（ ）
A． B．C．D．
2. 已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列命题中，正确的个数是（ ）
（1），则；（2），则；
（3），则；（4），则与异面
A.1 B.2 C.3 D.4
阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6

4．年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则（ ）
A. B.0 C.1 D.i
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知点在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线上，抛物线的焦点为，准线为，过点作的垂线，垂足为，若，的面积为，则焦点到准线的距离为（ ）
A．1B．C．D．3
如图所示的三视图中，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体最长的棱长为（ ）
A.2 B. C.3 D.
8．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
9．设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（ ）
A． B．C．D．
10．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为M，N，点P在C的渐近线上，，，则双曲线的C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
12．已知方程无实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，若，则m= .
14. 已知满足，则的最小值为 .
15. 文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有 种．
16. 在锐角中，分别为角A，B，C所对的边，满足，且，则的取值范围 .
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题.第22,23题为选考题.）
17.（本小题满分12分）已知等比数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列前项和为.
18.（本小题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；
（2）经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为，方差分别为,，现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望.
19.（本小题满分12分）如图所示六面体中，底面是边长为2的正方形.已知底面，平面，且.
（1）平面与棱相交于点，求证.
（2）若二面角的正弦值为，求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）设为函数的极小值点，证明：
21．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，与圆相交于，两点，求的取值范围.
请考生在第22、23题中任取一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 做答时请写清题号.
22.【选修4-4坐标系与参数方程】
（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，记圆与圆异于原点的交点为．
（1）求点的极坐标；
（2）若过原点O的直线交圆与O、M两点，直线交于O、两点，求的最大值．
23.【选修4-5不等式选讲】
（本小题满分10分）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）对任意的，，证明：．