2021烟台教科院高三下学期5月普通高中学业水平等级考试（三模）数学试题PDF版含答案

2021年新高考全国I卷（山东卷）模拟题

数学参考答案及评分标准

一、单选题

    C B A A  C D C D

二、多选题

   9.A C   10. ACD   11. ABD   12. BD

三、填空题

13.   14.   15.   16.

四、解答题

17.解：设数列的公差为，

若选条件①：因为，

所以，     ………………………………………………1分

化简可得，，所以，        ………………………………………………2分

因为，所以，             ……………………………………………………3分

故.            …………………………………………………4分

若选条件②：因为是公差为的等差数列，，

于是，                          ………………………………………………1分

当时，.   ………………………………………………2分

当时，，              ………………………………………………3分

所以.                       ………………………………………………4分

若选条件③：因为，

所以，       ………………………………………………1分

整理得.                     ………………………………………………2分

因为，所以，                ………………………………………………3分

从而数列的通项公式为.     ……………………………………………4分

由已知可得，             ………………………………………………5分

所以，             ………………………………………………6分

，

，

两式相减可得，

                   ，   ……………………………………8分

所以，

，

显然，当时，，即， …………………………………………9分

又因为，

所以最小正整数的值为.              ………………………………………………10分

18. 解：（1）因为，

所以，  ………………2分

即，

解得，                        …………………………………………4分

因为，所以.             …………………………………………5分

（2）在中，由正弦定理知，………6分

即，

所以，，      ……………………………8分

所以

    ……………………………10分

因为，所以，

所以，     …………………………………………11分

所以的范围为.         …………………………………………12分

19.解：（1）因为,面,面,

所以面,

所以到平面的距离等于点到面的距离，     …………………1分

解法一：在中，，故,

所以，                        ……………………………………2分

可得,

而，              ………………………………………………3分

设点到面的距离为，

则有，        ………………………………………………4分

解得，                       

所以点到面的距离为.            ……………………………………6分

解法二：如图建立空间直角坐标系，          …………………………………2分

可得，

,,      ………………………3分

设为平面的一个法向量，则有

，令，可得， ………4分

点到面的距离为.   ……………6分

（2）由（1）解法二可知，，

设，则有，

令，可得，                …………………………………9分

所以，    …………………………………………11分

故二面角的余弦值为.        …………………………………………12分

20.解：（1）设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为和，所以所求的概率

  ……………………3分

所以他们在一轮竞赛中能获得一个积分的概率为.          ………………………4分

（2）他们在一轮竞赛中获得一个积分的概率

  …………………………………6分

因为，，且，所以，，

所以，当且仅当时，等号成立.

即.                   ……………………………………………………8分

令，则，

所以，

，当时，恒成立，   ……………………………9分

所以当时，.       …………………………………………………10分

甲乙两同学在轮竞赛中获得的积分数满足，

所以由，即得，，      ………………………11分

所以若甲乙同学想至少获得个积分，理论上至少要进行轮竞赛. …………………12分

21.解：（1）由题意可得：，解得，    …………………2分

又因为，          ……………………………………………3分

所以椭圆的方程为.         ……………………………………………4分

（2）因为，设直线的方程为，，……5分

由消去得，

所以，            ……………………………………………7分

又，

所以

，…………………………………9分

令，则，

因为二次函数在上显然单调递增，

所以，                ……………………………………………11分

因此，显然当时，取得最大值；

综上知，.             ……………………………………………12分

22.解：（1），     ………………………………………1分

因为函数在处取得极大值，所以，解得.

当时，，

令，解得或，         …………………………………………2分

所以当时，，在和上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以满足函数在处取得极大值，    …………………………………………3分

所以.                   ………………………………………………………4分

（2）当时，，，

因为对，不等式恒成立，

即恒成立，                  ……………………………………5分

所以对恒成立.        ……………………………………6分

令，所以上式可化为对，恒成立.

令，则，             ……………………………………7分

所以当时，恒成立，在上单调递增，又，不合题意；          …………………………………………………………………………8分

当时，令，解得，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，…………9分

所以，要使对，恒成立，

只需，   ………………………………………………………10分

令，

所以，令，解得，

易知在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，         ………………………………………………………11分

所以，在上恒成立，所以当且仅当时，成立，

所以.                              ……………………………………………12分