2021广东省“决胜新高考・名校交流“高三下学期3月联考试题数学含解析

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“决胜新高考·名校交流”2021届高三3月联考卷

数学

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|2x2－7x－4<0}，B＝{x|ln(x－1)≥0}，则A∩B＝

A.(1，4)     B.[1，4)     C.(2，4)     D.[2，4)

2.若z＝1＋i，则＝

A.2     B.－2     C.2i     D.－2i

3.设O为原点，直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，当△ABO面积最大值时，k＝

A.±     B.±1     C.±     D.±2

4.在等差数列{an}中，a5＝2a3－l，a8＝6a2－2，则a1＋a2＋…＋a10＝

A.165     B.160     C.155     D.145

5.已知命题p：a∈D，命题q：∃x0∈R，x02－ax0－a≤－3，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D为

A.(－∞，6]∪[2，＋∞)     B.(－∞，－4)∪(0，＋∞)     C.(－6，2)     D.[－4，0]

6.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则函数表达式可写成

A.y＝2sin(2x＋)    B.y＝sin(x＋)    C.y＝sin(2x－)    D.y＝2sin(2x＋)

7.平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，＝4，DE⊥AB，垂足为E，F是DE中点，则＝

A.－     B.－     C.     D.1

8.已知函数f(x)＝－(＋lnx)，若函数f(x)有三个极值点，则实数k的取值范围为

A.[4e，2e2)∪(2e2，＋∞)     B.[0，4e]     C.(4e，2e2)∪(2e2，＋∞)     D.[0，4e)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(μ1，σ12)，N(µ2，σ22)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是

附：若随机变量X服从正态分布N(µ，σ2)，则P(µ－σ<X<µ＋σ)≈0.6826。

A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩

C.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近

D.若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

10.如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠DAB＝∠CBD＝90°，∠ADB＝∠BDC＝60°，E为PC中点，F在CD上，∠FBC＝30°，PD＝2AD＝2，则下列结论正确的是

A.BE//平面PAD                    B.PB与平面ABCD所成角为30°

C.四面体D－BEF的体积为      D.平面PAB⊥平面PAD

11.已知A，B是双曲线C：上关于原点对称的两点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，且满足k1·k2＝，则下列说法正确的是

A.双曲线C的离心率为2                         B.双曲线C的渐近线方程为y＝±x

C.若|AB|的最小值为4，则双曲线方程为－y2＝1   D.存在点P，使得|k1|＋|k2|＝

12.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2f(x－2)，且x∈[0，1)时，f(x)＝(f(1))x，x∈[1，2]时，f(x)＝。令g(x)＝f(x)－x－a，x∈[－2，6]，若函数g(x)的零点有8个，则a的可能取值为

A.2.5     B.2.6     C.2.8     D.3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数f(x)＝2sinx·cosx－cos2x在[0，π]上的单调递增区间是           。

14.(x＋3)3－x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，则a3＝           。

15.如图，已知曲线C：y2＝4x，焦点F(1，0)，点M在x轴上运动，P为C上的动点，若PM的中点N落在y轴上，则∠FNM＝           ；斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为Q，若，则|AB|＝           。

16.如图，二面角A－BD－C的平面角的大小为120°，∠BDA＝120°，∠BDC＝150°，AD＝BD＝2，CD＝，则四面体ABCD的外接球表面积为           。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，Tn＝1－bn且a1＝2b1，a8＝3a3。

(I)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(II)求数列{an·bn}的前n项和Qn。

18.(12分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且m＝(2cosAcosC，－1)，n＝(tanAtanC－1，1)，m⊥n。

(I)求B的大小；

(II)若b＝7，sinA＋sinC＝，求△ABC的面积。

19.(12分)

在空间直角坐标系O－xyz中，以坐标原点O为圆心，r为半径的球体。上任意一点P(x，y，z)，它到坐标原点O的距离d＝≤r，可知以坐标原点为球心，r为半径的球体可用不等式x2＋y2＋z2≤r2表示。还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示。记P1满足的不等式组表示的几何体为W1。

(I)当z＝h表示的图形截W1所得的截面面积为12π时，求实数h的值；

(II)请运用祖暅原理求证：记P2满足的不等式组所表示的几何体W2，当z＝h时，W2与W1的体积相等，并求出体积的大小。(祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。意思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等)

20.(12分)

当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位。结合全国第32个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题。规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题(即每位同学至少答对1题)。若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题。假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题。求：

(I)若第n次由甲组答题的概率为Pn，求Pn；

(II)前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少？

21.(12分)

已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一动点，当△MF1F2的面积最大时，其内切圆半径为，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4。

(I)求椭圆E的标准方程；

(II)过F1的直线与椭圆相交于点C，D(不与顶点重合)，过右顶点B分别作直线BC，BD与直线x＝－4相交于N，M两点，以MN为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由。

22.(12分)

(I)求证：<＋1(x≥－1)；

(II)已知f(x)＝ex＋，求f(x)＝0的根的个数；

(III)求证：若x>0，则ex>(x＋2)＋x2－4。