2021江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学高三下学期5月联考试题数学含答案

2021届高三适应性考试试题   2021.5

数    学

一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1． 已知全集，集合，，则

A．     B．      C．    D． 

2． 已知复数，，在复平面内复数所对应的两点之间的距离为

A．           B．             C．4               D．10

3． 若     是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是

A． B．

C． D． 

4． 小张、小李、小王、小赵四名同学，仅有一人做了数学老师布置的一道题目. 当他们被问到谁做了该题目时，小张说：“小王或小赵做了”；小李说：“小王做了”；小王说：“小张和小赵都没做”；小赵说：“小李做了”．假设这四名同学中只有两人说的是对的，那么做了该题目的学生是

A．小张            B．小赵             C．小王           D．小李  

5． 被除所得的余数为，则

A．4               B．5                C．6              D．7 

6． 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第5天和第6天共走了

A．24里  B． 6里

C．12里  D． 18里

7． 已知函数是定义在R上的周期为2的偶函数，当，则函数的图象与函数的图象交点个数为

A．6               B．7                 C．8             D．9

8． 圆心在轴上的圆C与椭圆在轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点

的两条切线相互垂直并分别过椭圆不同的焦点，则圆的半径为

A．               B．              C．            D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9． 已知直角中有一个内角为，如果双曲线以为焦点，并经过点C，则该双曲线的离心率可能是

A．             B．2              C．           D．

10．已知函数，若的最小正周期为，且对任意的，恒成立，下列说法正确的是

A．    

B．若，则

C．若               ，则

D．若在上单调递减，则

11．已知=，下列说法正确的是

A．设，则数列的前项的和

B．

C．=（）

D．数列为等比数列

12．已知正方体中，点E为棱的中点，点P是线段上的动点, , 则下列选项正确的是

A．直线与是异面直线

B．点P到平面的距离是一个常数

C．过点C作平面的垂线，与平面交于点Q，若，则Q

D．若面内有一点Q，它到CD距离与到的距离相等，则Q轨迹为一条直线

三、    填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某人准备在某一周的七天中选择互不相邻的三天出游玩，则不同的选法的种数

为___________．

14．请写出与函数的图象在点处具有相同切线的一个函数

___________．

15．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4％的速度增加.按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上 (结果保留整数)（参考数据：）．

16．已知正三棱柱的各条棱长均为1，则以点   为球心､1为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为___________．

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知中，是边的中点，且①； ② ；③；

　　④．

　　(1)求AC的长；

(2)的平分线交BC于点E，求AE的长.

上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作

为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一．你删去的条件是___________，请写出用

剩余条件解答本题的过程．

18．已知数列的前项和为，且满足，数列满足

　　且．

　　（1）求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；

　　（2）设                 ，求数列的前项和．

19．如图，在五面体中，底面四边形为正方形，面 面，，．

　（1）求证：    ∥     ；

　（2）若             ，       ，求平面      与平面      所成的二面角．

20．为全面推进学校素质教育，推动学校体育科学发展，引导学生积极主动参与体育锻炼，

促进学生健康成长，从2021年开始，参加某市初中毕业和高中阶段学校考试的初中毕

业生，体育中考成绩以分数（满分40分计入中考总分）和等级作为高中阶段学校招生

投档录取依据.考试由必考类、抽考类、抽选考类三部分组成，必考类是由笔试体育保

健知识（分值4分），男生1000米跑、女生800米跑（分值15分）组成；抽考类是篮

球、足球、排球，由市教育局从这三项技能中抽选一项考试（分值5分）；抽选考类是

立定跳远、1分钟跳绳、引体向上（男）、斜身引体（女）、双手头上前掷实心球、1分

钟仰卧起坐，由市教育局随机抽选其中三项，考生再从这三个项目中自选两项考试，每

项8分.已知今年教育局已抽选确定：抽考类选考篮球，抽选考类选考立定跳远、1分钟

跳绳、双手头上前掷实心球这三个项目．甲校随机抽取了100名本校初三男生进行立定

跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图．

　　（1）若该市初三男生的立定跳远成绩（单位：厘米）服从正态分布，并

用上面样本数据的平均值和标准差的估计值分别作为和，已计算得上面样本的标

准差的估计值为（各组数据用中点值代替）．在该市2021届所有初三男生中

任意选取3人，记立定跳远成绩在231厘米以上（含231厘米）的人数为，求随机变

量的分布列和期望．

（2）已知乙校初三男生有200名，男生立定跳远成绩在250厘米以上（含250厘米）　

得满分．

　　（i）若认为乙校初三男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计乙校初

　　三男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）；

（ii）事实上，（i）中的估计值与乙校实际情况差异较大，请从统计学的角度分析这个　

差异性．（至少写出两点）

　　附：若，则，

　　，.

21．已知双曲线：的两个焦点为，一条渐近线方程为

　　， 且双曲线经过点．

　　（1）求双曲线的方程；

（2）设点在直线上，过点作双曲　

线 的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点．

22．    已知函数（）．

　　（1）证明：函数在内存在唯一零点；

（2）若函数有两个不同零点且，当最小时，求此时的

值.