2021铜仁思南中学高三下学期第十二次考试数学（理）试题含答案

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思南中学2021届高三第十二次考试数学（理科）试卷 第I卷 一、选择题,本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数（其中为实数，为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．23．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支.天干有十个，就是甲､乙，丙､丁､戊､己､庚､辛､王､癸，地支有十二个，依次是子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.古人把它们按照甲子､乙丑､丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年､月､日､时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年(2021年)是辛丑年，则百年后的2121年是（    ）年。A．丙午 B．丁巳 C．辛巳 D．辛午4．已知(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＝（    ）A．0               B．2            C．66        D．765．已知等差数列的前项和，且，则（   ）A．4 B．7 C．14 D．6．已知函数在处的切线经过原点，则实数A． B． C．1 D．07．函数的图象是A．B．C． D． 8．执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝（    ）A． B． C． D．9．如图，正方形与正方形所成角的二面角的平面角的大小是是正方形所在平面内的一条动直线，则直线与所成角的取值范围是（    ）A． B． C． D．10．过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（    ）A．             B．            C．＋1           D．11．．设，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．12．关于函数有下述几个结论：①为偶函数；②函数的最小正周期为；③的值域为；④，.其中正确结论的个数为（    ）A． B． C． D． 第II卷二、填空题,本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，实数满足，则____________.14．设等比数列的公比，前项和为，则的值为___________．15．已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为__________．16．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为___________________平方分米.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必做题：每小题12分，共60分。17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C的值；（2）若，当边c取最小值时，求的面积．  18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查.右边是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.附表：参考公式（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷体育迷合计男   女 合计   （2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及期望 19．如图，三棱柱各棱长均为2，．（1）求证：；（2）若二面角为，求与平面所成角的正弦值．    20．设直线与抛物线交于、两点，已知当直线经过抛物线的焦点且与轴垂直时，的面积为（为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）当直线经过点且与轴不垂直时，若在轴上存在点，使得为等边三角形，求的取值范围．  21．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）设，在区间上的最大值为，求的最小值．  （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．在花语中，四叶草象征幸运.已知在极坐标系下，方程对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”.（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；（2）已知为“四叶草”上的点，求点到直线距离的最小值以及此时点的极坐标. 23．已知函数.（1)解不等式；（2)记函数的最小值为，且，其中均为正实数，求证：
理科参考答案1．B  2．A  3．C  4．D  5．B  6．A  7．C  8．B  9．D  10．A  11.B  12．C13．1或    14．．   15．   16．17．【详解】（1）由条件和正弦定理可得，整理得从而由余弦定理得．又∵C是三角形的内角，∴．（2）由余弦定理得，    ∵，∴， ∴（当且仅当时等号成立）．∴c的最小值为2，故．18．【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而列联表如下： 非体育迷体育迷合计男女合计将列联表中的数据代入公式计算，得.因为，所以没有的把握认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意，从而的分布列为， 19．【详解】（1）证明：取中D点连接，∴正和正中：∴，面，∴（2）法一：作垂直于H，连，由面可得为二面角的平面角，∴，面，面，又，∴面，∴为与平面所成角的平面角，，∵，∴与平面所成角的正弦值为.法二：建立如图以为坐标原点的空间直角坐标系，则：，，由面可得为二面角的平面角，∴，设面的法向量为，∴，∴，又∵，∴.20．【详解】（Ⅰ）由条件可得，点到距离为，，，得，因此，抛物线的方程为；（Ⅱ）设点、，的中点为，又设，直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，得.，由韦达定理得，.所以，从而.为正三角形，，.由，得，所以.由，得，即，，，从而.，，从而，因此，实数的取值范围是.21．【详解】（1）由题意的定义域为，，①若，则，所以在上为单调递增函数；②若，由解得，，的解为或，的解为，即的增区间为，，减区间为．（2）①若，则，，又由（1）知在上为增函数，故；②若，易知，，，，，，（ⅰ）若，则，且，故，所以则，（ⅱ）若，则，且，故在上为减函数，则．综上，所以．22．【详解】（1）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为：，所以联立，得或，所以所求交点的极坐标为和.（2）直线的直角坐标方程为，“四叶草”极径的最大值为2，且可于点处取得，连接且与直线垂直且交于点，所以点与点M的距离的最小值为1.23．【详解】（1）令，①当时，，则，②当时，，则，③当时，，则，综上,不等式的解集为；（2）因为，则，，则，又（当且仅当时取等号），所以，所以，即;