2021河北省“决胜新高考・名校交流“高三下学期3月联考试题数学PDF版含解析

决胜新高考•名校交流2021届高三3月联考卷

数学答案及评分标准

一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，1-8题为单选题，9-12题为多选题，多选题全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共60分.

13. ，

14．－9　

15.　  （第一空2分，第二空3分）

16．116π

评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。

三、解答题：本小题共6小题，共70分.

评分标准：具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。

试题有不同解法时，解法正确即可酌情给分。

17.解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，

因为Tn＝1－bn，

当n＝1时，T1＝1－b1＝b1，

所以b1＝；(1分)

当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，(2分)

整理得＝，

所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，

故bn＝.(4分)

由a8＝3a3，得1＋7d＝3·(1＋2d)，解得d＝2.

又a1＝2b1＝1，所以an＝2n－1.(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，an·bn＝(2n－1)·，(6分)

所以Q n＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)×，　①

则Qn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)×，　②(7分)

①－②得Qn＝1×＋2×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝＋2×－(2n－1)×，(8分)

所以Qn＝3－.(10分)

18.解：(Ⅰ)∵m⊥n，∴m·n＝0，

即m·n＝2cosAcosC(tanAtanC－1)－1

  ＝2sinAsinC－2cosAcosC－1

  ＝－2cos(A＋C)－1

  ＝2cosB－1

  ＝0，(4分)

∴cosB＝.(5分)

∵B∈(0，π)，∴B＝.(6分)

(Ⅱ)∵＝＝＝，

∴sinA＝a，sinC＝c.(7分)

∵sinA＋sinC＝，∴a＋c＝13.

又∵b2＝a2＋c2－2accosB，(9分)

即72＝a2＋c2－2accos，

∴ac＝40，(10分)

∴S△ABC＝acsinB＝×40×sin＝10.(12分)

19.解：(Ⅰ)当z＝h时，x2＋y2≤16－h2，截面为圆面，

则16－h2＝12，解得h＝±2.

又h≥0，所以h＝2.(6分)

(Ⅱ)在W1中，平面z＝h所截的截面为圆，其面积为π(16－h2)，

在W2中，平面z＝h所截的截面为圆环，其面积为π(16－h2)，

即z＝h截W1，W2所得面积均相等，从而由祖暅原理知，W1，W2体积相等，

由W1为半球知其体积V＝×π×43＝π.(12分)

20.解：(Ⅰ)若第(n＋1)次由甲组答题，则包括第n次由甲组答题，第(n＋1)次继续由甲组答题，以及第n次由乙组答题，第(n＋1)次由甲组答题．

答对的题数之和为3的倍数分别为

1＋2，2＋4，1＋5，4＋5，3＋3，6＋6，3＋6，

其概率为＝，

则答对的题数之和不是3的倍数的概率为，(3分)

所以第n次由甲组答题，第(n＋1)次继续由甲组答题的概率为Pn，

第n次由乙组答题，第(n＋1)次由甲组答题的概率为(1－Pn)，

因此Pn＋1＝Pn＋(1－Pn)＝－Pn＋(n∈N*)，(4分)

则Pn＋1－＝－.(5分)

因为第一次由甲组开始，则P1＝1，

所以是首项为，公比为－的等比数列，

所以Pn－＝，

即Pn＝＋.(7分)

(Ⅱ)由于第1次由甲组答题，则只要第2次、第3次、第4次这3次中再由甲组答题一次即可，所以所求概率P＝P1P2(1－P3)(1－P4)＋P1(1－P2)P3(1－P4)＋P1(1－P2)(1－P3)P4，(9分)

由(Ⅰ)可知P2＝，P3＝，P4＝，(10分)

所以P＝.(12分)

21.解：(Ⅰ)由题意及三角形内切圆的性质可得

·2c·b＝(2a＋2c)·，化简得＝.　①(2分)

又 |AB|＝2a＝4，

所以 a＝2，c＝1，b＝＝，(4分)

所以椭圆E的标准方程为＋＝1.(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(－1，0)，B(2，0)，由题意，直线CD的斜率不为0，

设直线CD的方程为x＝my－1，

代入椭圆E的方程＋＝1，

整理得(3m2＋4)y2－6my－9＝0.(6分)

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则y1＋y2＝，y1y2＝－，　②

直线BC：y＝(x－2)．

令x＝－4，得N，(7分)

同理可得M，(8分)

所以以MN为直径的圆的方程为

(x＋4)(x＋4)＋＝0，

即x2＋8x＋16＋y2＋y＋＝0，　③

由②得y1＋y2＝－my1y2，

代入③得圆的方程为x2＋8x＋7＋y2－6my＝0.(10分)

若圆过定点，则(11分)

解得或

所以以MN为直径的圆恒过两定点(－7，0)，(－1，0)．(12分)

22.解：(Ⅰ)证明：当x≥－1时，>0，

∴<＝＋1.(2分)

(Ⅱ)当x>a时，f(x)>0恒成立，

∴函数f(x)没有零点；

当x<a时，f(x)＝ex＋＝.

令h(x)＝ex(x－a)＋1，

则h′(x)＝ex(x－a＋1)，

易知h′(a－1)＝0，

∴当x∈(－∞，a－1)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；

当x∈(a－1，a)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，

∴函数h(x)在(－∞，a)上的最小值为

h(a－1)＝1－ea－1.

显然，当a＝1时，h(a－1)＝0，

∴x＝a－1是函数f(x)的唯一的零点；

当a<1时，h(a－1)＝1－ea－1>0，

∴函数f(x)没有零点；

当a>1时，h(a－1)＝1－ea－1<0，

∴函数f(x)有两个零点．(6分)

(Ⅲ)证明：由(Ⅰ)知当x>0时，<＋1，

∴只需证当x>0时，ex>(x＋2)＋x2－4.(8分)

设M(x)＝ex－(x＋2)－x2＋4＝ex－x2－2x＋2，

则M′(x)＝ex－2x－2.

令φ(x)＝ex－2x－2，

则φ′(x)＝ex－2，

易知φ(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．

∵φ(1)φ(2)<0，

∴M′(x)在(0，＋∞)上只有一个零点x0(1<x0<2)，

即ex0－2x0－2＝0，(10分)

∴M(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，

∴M(x)≥ex0－x－2x0＋2＝4－x>0，

∴ex>(x＋2)＋x2－4.

又＋1>，

∴ex>(x＋2)＋x2－4.(12分)