2021“超级全能生”高三全国卷地区3月联考试题（甲卷）数学（理）含解析

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“超级全能生”2021高考全国卷地区3月联考甲卷

数学(理科)

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|2x2－7x－4≤0}，B＝{x||x|<3}，则A∩B＝

A.(－2，3)     B.(－2，3]     C.(－，2)     D.[－，3)

2.复数z满足z＝，则|z|＝

A.5     B.2     C.     D.2

3.已知a＝，b＝，c＝()－1.1，则

A.a<b<c     B.b<a<c     C.c<b<a     D.c<a<b

4.二项式()5的展开式中x的系数为

A.－15     B.－3     C.3     D.15

5.函数f(x)＝(x3－3x)·的图象大致是

6.曲线y＝(x≥0)的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为

A.y＝x－1     B.y＝x     C.y＝x＋1     D.y＝x＋2

7.某省今年开始实行新高考改革，跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了语文、数学外语三门科目必选外，再从物理化学、生物、政治、地理、历史这6个科目中任选3门作为选考科目，甲和乙分别从6科中任选3科，若他俩所选科目都有物理，其余2科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率是

A.     B.     C.     D.

8.如图所示的程序输出的结果为，则判断框中应填

A.i≥10？     B.i≤10？     C.i≥9？     D.i≥11？

9.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn－nan＝3n(n∈N*)，且S3＝15，则S10＝

A.100     B.110     C.120     D.130

10.筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车沿逆时针方向以角速度ω(ω>0)转动，规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0时的位置)时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系：xOy，设盛水筒M从点P0运动到点P时经过的时间为t(单位：s)，且此时点P距离水面的高度为h(单位：米)，筒车经过6s第一次到达最高点，则下列叙述正确的是

A.当t＝16s时，点P与点P0重合                B.当t∈[51，65]时，h一直在增大

C.当t∈(0，50)时，盛水筒有5次经过水平面      D.当t＝50时，点P在最低点

11.已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与△PF1F2的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，则该椭圆的离心率为

A.     B.     C.     D.

12.已知函数f(x)＝是定义在R上的单调递增函数，g(x)＝xe－1(alnx＋1)＋xe－e，当x≥1时，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围是

A.[－4，0)     B.[－4，－2]     C.[－4，－e]     D.[－e，－2]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，则|2a＋3b|＝          。

14.已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项积为Tn，若T3＝，则T9＝          。

15.已知F1，F2分别是双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的右支交于第一象限内的一点P，若G()为△F1PF2的重心，则该双曲线蹬离心率为          。

16.如图圆锥内的球O与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为1，则圆锥侧面积的最小值为          。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

已知等腰△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝c，D是AC的中点。

(I)若cos∠BDC＝，sin∠ABD＝，CD＝1，求△ABC的面积S；

(II)若△ABC的面积S等于2，求BD的最小值。

18.(12分)

如图，在四棱锥E－ABCD中，AD⊥BE，AD//BC，BC＝2AD，EA＝AB，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°。

(I)证明：平面BCE⊥平面ABE；

(II)若EA⊥CD，点F在EC上，且，求二面角A－BF－D的大小。

19.(12分)

已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(2，1)是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得|AE|＋|EF|有最小值3。

(I)求抛物线C的方程；

(II)设直线l：2x－y＋4＝0，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线l1，过点A的动直线l2与抛物线相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线l1于点M，N，证明：|AM|＝|AN|。

20.(12分)

甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的A，B，C三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由。上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到2场，游戏结束，该选手为晋级选手。

(I)求比赛进行了3场且甲晋级的概率；

(II)当比赛进行了3场后结束，记甲获胜的场数为X，求X的分布列与数学期望。

21.(12分)

已知函数f(x)＝(1＋x)ln(1＋x)－ax2－(2a＋1)x，a∈R。

(I)若f(x)在定义域内是减函数，求a的最小值；

(II)若f(x)有两个极值点分别是x1，x2，证明：x1＋x2>－2。

(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(k为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos(θ＋)＝1。

(I)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(II)已知点A(1，0)，若l和曲线C的交点为M，N，求|AM|·|AN|。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝2x＋1＋a|x－1|。

(I)当a＝3时，求函数f(x)的最小值m；

(II)当x∈(－1，1)时，不等式f(x)>x2＋2恒成立，求实数a的取值范围。