2021银川17校联考高三下学期5月普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）试题含答案

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题卷

( 银川17校联考 )

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，，则

A．{0，1，2} B．{-1, 0，1，2}     C．{1，2} D．{﹣1，0，1}

2．已知()，则=

A．1          B．       C．3         D．9

3．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为

A． B． 

C． D．

4．已知，则的值为

A.            B.        C.         D.

5．函数, 的图象可能是

A．B．C． D．

6．设直线：，与圆：交于，，且，则的值是

A．10或30 B．10 C．－30 D． 10或－30

7．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中≈0.866)．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于

A．        B．          C．          D．

8．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则

A．4 B．2 C． D．

9．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为

A．        B．           C．         D．

10．在中，若，则

A． B． C．或 D． 或

11．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线C的离心率是

A． B． C． D．5

12．平行于轴的直线与函数的图像交于，两点，则线段长度的最小值为

A．       B．     C．      D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设满足约束条件，则的最小值是_____.

14．在中，为边上的中线，为的中点，

若,则=_________．

15．如图圆锥的高，底面直径是圆上一点，

且，则与所成角的余弦值为_______.

16．关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；②在区间上单调递减；③在有四个零点；

④的值域是；⑤的周期为.

其中所有正确结论的编号是_________．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分)

17.（12分）

已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.

18．(12分)

如图，在直三棱柱中，，
为上的一点，．

（1）若，求证：平面.

（2）平面将棱柱分割为两个几何体，

记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求的值．

19．（12分）

2021年3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求.某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品.质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了50个零件进行测量，根据所测量的零件质量（单位：克），得到如图的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，求这50个零件质量的中位数（结果精确到0.01)；

（2）若从这50个零件中质量位于之外的零件中随机抽取2个，求这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率；

（3）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知这批零件有10000个，某采购商提出两种收购方案：

A．所有零件均以50元/百克收购；

B．质量位于的零件以40元/个收购，其他零件以30元/个收购.

请你通过计算为该厂选择收益最好的方案.

20．（12分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为4，且过点．

（1）求椭圆的方程

（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

21．(12分)

已知函数（其中，e是自然对数的底数）．

（1）若在点处的切线方程为，求；

（2）若，函数恰好有两个零点，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，且，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于，两点，求．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知是正实数，且．

（1）求的最小值； 

（2）求证：．

2021年银川多校联考数学(文科)参考答案

一、选择题

二、填空题：

13.           14.       15．     16．②③⑤ 

17.【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，所以，.............................................................2分

故，所以；............................................4分

所以数列是公比为3的等比数列，因为是的等差中项，所以，

所以，解得；数列的通项公式为；...................6分

 （2）由（1）可知，故数列是以1为首项，为公比的等比数列........8分

，，......10分

因为恒成立，所以，即实数的取值范围为......12分

18.【解析】（1）如图，取中点，连接，．

在直三棱柱中∵

∴，，

∵∴且，

∴四边形是平行四边形∴．          ......2分

由题意为正三角形，侧棱，，两两平行且都垂直于平面．

∴，，                                    ......4分

∵，平面，，∴平面，

又∵．∴平面．                         ......6分

（2）正三棱柱的底面积，则体积．...5分

下面一个几何体为四棱锥，底面积，......6分

因为平面平面，过点作边上的高线，如图，

在平面与平面垂直的性质可得垂直于平面，故四棱锥的高等于．

则，                          ......9分

从而．           ......11分

∴                                           ......12分                   

19．【答案】（1）中位数为71.47；（2）；（3）该厂选择方案B；答案见解析.

【详解】（1）零件质量位于的频率为，

零件质量位于的频率为，    ......2分

，这50个零件质量的中位数位于区间，设为，

则，解得，故这50个零件质量的中位数为71.47      .......4分

（2）质量位于的零件个数为个，

质量位于的零件个数为个，            ......6分

故这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率为.       ......8分

（3）这组数据的平均数为

，....9分

方案A：收益为元；                ......10分

质量位于的零件个数为个，

质量位于之外的零件个数为个，

方案B：收益为元.                  ......11分

，该厂选择方案B.                           ......12分

20.【解析】（1）由已知可得，.........................2分

解得，，

所以椭圆的方程为．................................................4分

（2）由已知可得，，，，

，可设直线的方程为，

代入椭圆方程整理，得

．...............................................6分

设，，，，则，，

，，

即．...............................................8分

，，，

即．

，或．...............................................10分

由△，得．

又时，直线过点，不合要求，

，

故存在直线满足题设条件．...............................................12分

21.【解析】（1）,.........2分

由题意可知，解得........4分

（2），........................6分

问题等价于的图象和直线恰好有2个交点，求a的取值范围．

令，则．令，

则，∴在上单调递减．又，

∴当时，，，∴在上单调递增．

当时，，，∴在上单调递减，

∴的极大值即最大值为．........................8分

∴当时，；当时，．........................10分

∴当时，的图象和直线恰好有2个交点，

函数恰好有两个零点．........................12分

22.解：（1）曲线的参数方程为为参数，且，转换为直角坐标方程为．................3分

直线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．................5分

（2）直线与轴交点记为，即，

转换为参数方程为为参数）与曲线交于，两点，................7分

把直线的参数方程代入方程．

得到，

所以，，................9分

则：．...........10分

23.【解析】（1）∵a，b，c是正实数，且a+b+2c=1．

所以（）（a+b+2c）.........2分

，

当且仅当，即，时等号成立，

∴的最小值为．...............5分

（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a2+b2+c2）≥（a+b+2c）2=1，.............7分

即，当且仅当，即，时等号成立，............9分

∴a2+b2+c2成立．...........10分