2021省齐齐哈尔高三下学期5月第三次模拟考试数学（文）试题含答案

齐齐哈尔市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学（文科）试题

考生注意：

1．本试卷分选择題和非选择題两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．签题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：；高考范围．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．在中国古建筑中，为了保持木构件之间接榫（“榫”，即指木制构件利用凹凸方式相连接的部分）的地方不活动，需要将楔子捶打到榫子缝里．如图是一个楔子的三视图，则这个楔子的体积是（    ）

正视图   侧视图  

俯视图

A． B． C． D．

4．下列说法正确的是（    ）

A．“，”的否定为“，”

B．“”是“”的必要条件

C．若，则的逆命题为真命题

D．若“”是“”的充分条件，则

5．已知实数，满足不等式组，若目标函数的最大值为，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，，则向量在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

9．碳测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量与经过时间后的含量间的关系，其中（为半衰期）．已知碳的半衰期为年，，经测量某地出土的生物化石中碳含量为，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据）（    ）

A．年 B．年 C．年 D．年

10．已知点是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点．若，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．在中，，，，点，分别在边，上，点，在上，且四边形为矩形（如图所示），当矩形的面积最大时，在内任取一点，该点取自矩形内的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．已知正三棱柱（侧棱底面，底面是正三角形）内接于球，与底面所成的角是．若正三棱柱的体积是，则球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则等于_______．

14．已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为_______．

15．某校高二名学生学业水平考试的数学成绩如下表：

用系统抽样法，从这名学生学业水平考试的数学成绩中抽取容量为的样本，若在第一分段里，用随机抽样抽取的成绩为，则这个样本中最小的成绩是________．

16．已知函数，若对任意实数，恒有，则_______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．已知某体育学校有学生人，其中男生人，女生人．现按性别采用分层抽样的方法抽取了名学生，并记录他们每天的平均跑步时间（单位：min）得到如下频率分布表：

（1）根据频率分布表，求实数，，的值，完成如图所示的频率分布直方图；

（2）若在被抽取的名学生中有名男生每天的平均跑步时间不低于，完成下列列联表，能否在犯错误的概率不超过的情况下，认为该学校“学生每天的平均跑步时间不低于”与“性别”有关？

注：，

18．已知是公比为的等比数列，其前项和为，且，．

（1）求；

（2）设是以为首项，为公差的等差数列，其前项和为，当时，试比较与的大小．

19．如图，在三棱锥中，为正三角形，为的重心，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20．在平面直角坐标系中，动圆经过点，且与直线相切．记动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线？

（2）设过点的直线与曲线交于，两点，且点满足，求直线的方程．

21．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），曲线的直角坐标方程为．以坐标原点为极点轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过极坐标系中的点．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2若曲线上的两点，的极坐标分别为，，求的值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知，均为正实数，且．

（1）求的最小值；

（2）若对任意的正数，恒成立，求实数的取值范围．

高三数学（文科）试题参考答案、提示及评分细则

1．D  由，又因为，所以．故选D．

2．C  由，得，所以，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限．故选C．

3．A  该楔子是一个底面为直角三角形（两直角边长分别为和）、高为的直三棱柱，其直观图如图所示．则。故选A．

4．C  对于A，，的否定为，，故A错误；对于B，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，若，则的逆命题为若，则，因为时，所以成立，故C正确；对于D，由得，若是的充分条件，则，故D错误．故选C．

5．B  可行域如下图阴影部分所示：

易得当时，不等式组表示的平面区域存在，是以，，为顶点的三角形区域（包含边界）由图易得当目标函数经过平面区域内点时，取得最大值，解得．故选B．

6．时，；时，时，；时，，不满足条件，退出循环，输出，故选B．

7．D由题意，得在上是增函数，因为是奇函数，所以在上是增函数，又，则，所以，所以，即的取值范围是．故选D．

8．D  ，，则．故选D．

9．C由题意知

．故选C．

10．B  设椭圆的右焦点，连接，

根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以．则，

由余弦定理可得，所以，所以椭圆的离心率．故选B．

11．A由题意知：，边上的高为，设，，因为，

所以，所以，

所以矩形的面积为（当且仅当，即时等号成立），又的面积为，故所求的概率为．故选A．

12．A  易知是与底面所成的角，则．

故由，得，设，

则，解得．

所以球的半径，

所以球的表面积．

故选A．

13．  由正弦定理，可得，所以，

因为，所以，所以．

14．  因为为等腰直角三角形，所以，所以其中一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以．

15．  个成绩，分为组，每组个，其中第一组的成绩为，它在本组中的编号为，所以抽取的个成绩分别为，，，，，故所抽样本中最小的成绩为

16．  对任意实数，恒有，则为的最小值，为的最大值．

因为，而，

所以当时，取得最小值；当时，取得最大值．所以，，所以．

所以．

17．解：（1）

频率分布直方图如图：

（2）列联表：

所以

又因为

所以能在犯错误的概率不超过的情况下认为该校“学生每天的平均跑步时间不低于”与“性别”有关．

18．解：（1）当时，若，则应有，这与矛盾，故．

由，相除，

得，解得．

（2）由题意知，

当时，．

所以当时，；

当时，

当时，．

19．（1）证明：设，则，

在中，

由余弦定理，得．

因为，所以．

因为，，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）解：（方法1）取的中点，连接，，则点在上，在平面内过点作的平行线交于点．

因为，平面，平面，所以平面

因为为的重心，所以，又，所以，

所以在棱上存在点，使得直线平面，且此时．

（方法2）过作，交于点，过作交于点，连接，

则平面

证明如下：，平面，平面，所以平面，同理，平面

因为，，平面，所以平面平面．

因为平面，所以平面

连接并延长交于，

因为为的重心，所以，

所以

所以在棱上存在点，使得平面，且此时．

20．解：（1）根据题意，动点到点的距离等于到直线的距离，则动点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，

所以曲线的方程为，且曲线为焦点在轴正半轴上的抛物线．

（2）当直线与轴垂直时，一定有，此时适合题意，直线的方程为

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，

由得．

，则直线与抛物线一定相交；

所以，

设的中点为，则，

即

当，即时，因为，所以

所以，解得，

所以直线的方程为，即

当

即时，经检验不合题意．

综上，直线的方程为或．

21．解：（1）由．有，，

故曲线在点处的切线方程为，整理为．

（2）不等式可化为，

令，函数的定义域为，

则

令，则，令，得，，得，

所以函数的增区间为，减区间为，

所以对，

又当时，，故有．

所以，有，，有，

所以函数的增区间为，减区间为，

所以

所以实数的取值范围为．

22．解：（1）将曲线的参数方程化为普通方程为．

即，由，，

可得曲线的极坐标方程为

因为曲线经过点，所以

解得（负值舍去）

所以曲线的极坐标方程为．

（2）将，代入

得

即

因为，在曲线上，

所以，

所以

23．解：（1）由，且，可得

所以

当且仅当，即，时取等号，

故的最小值为．

（2）由（1）知的最小值为

由题意可得

即或或

解得或，

故实数的取值范围为．