2021西藏昌都市一中高三下学期5月高考第一次仿真考试数学（文）试题含答案

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2021年昌都市一高高三年级第一次仿真考试（文科数学）

（考试时间：120分钟    试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ι卷（选择题　共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4＜0，x∈Z}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，则图中阴影部分表示的集合是（    ）

A．{0，1，3}                          B．{﹣2，0，1，2，3} 

C．{0，﹣1，﹣3}                  D．{﹣1，0，1，3}

2．已知复数,其中为虚数单位,则（    ）

A． B． C． D．

3．从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（    ）

(注：表为随机数表的第行与第行)

A． B． C． D．

4．如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是：而把看作是每天“落后”率都是，一年后是.若“进步”的值是“落后”的倍，大约经过（    ）天.(参考数据：，)

A．110 B．115 C．120 D．125

6．若等比数列的前项和，则

A．4 B．8 C．16 D．32

7．已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为（    ）

A． B． C． D．1

8．如图是正方体的平面展开图．则在这个正方体中：

①与平行；②与是异面直线；

③与成角；④与是异面直线.

以上四个命题中，正确的命题序号是（    ）

A．①③ B．②④ C．①④          D．③④

9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是10，则输出的值为（ ）

A． B． C．10 D．20

10．设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为

，为双曲线上一点，且，则的面积等于（  ）

A． B． C． D．

11．若定义在上的奇函数满足：，且，都有，则称该函数为满足约束条件的一个“函数”，

有下列函数：①；②；③；④，其中为“函数”的是（  ）

A．① B．② C．③ D．④

12．下列四个结论中正确的个数是   ①若，则       ②已知变量和满足关系，若变量与正相关，则与负相关         ③“已知直线，和平面、，若，，，则”为真命题  ④是直线与直线互相垂直的充要条件（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，则_____．

14.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则_____．

15．椭圆上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足（O为坐标原点），则________．

16.在平面内，已知正三角形的边长为a，则其内切圆的半径为，类似地，在空间体正四面体的棱长为a，则其内切球半径为___________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．（12分）在平面四边形中，，，，.

（Ⅰ）求边的长；

（Ⅱ）若，求的面积.

18．（12分）某校为了解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况，从中随机抽取了25位考生的成绩进行统计分析．25位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中，物理成绩如下：

（Ⅰ）请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计；

（Ⅱ）请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图；

（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的数学、物理成绩分别为xi，yi（i=1，2，3，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：数学、物理成绩具有线性相关关系，得到：=86，=64，

（xi-）（yi-）=4698，（xi-）2=5524，≈0.85．求y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩（精确到1分）．

附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

19．（12分）如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，

，，，分别是棱，上的动点，

且，，．

（Ⅰ）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；

（Ⅱ）当时，求几何体的体积.

20．（12 分） 已知函数.

（Ⅰ）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；

（Ⅱ）求证：函数在内有且只有一个极值点；

（Ⅲ）求函数在区间上的最小值.

21．（12分）已知抛物线：（）上的点到其焦点的距离为1．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求直线：交抛物线于两点、，线段的垂直平分线交抛物线于两点、，求证：、、、四点共圆．

请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22.（10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】

在极坐标系中，已知圆：，直线：.

（Ⅰ）若点在圆上，求的值；

（Ⅱ）以极点为原点，以极轴为轴正半轴建立直角坐标系，已知直线：与、在第一象限的交点分别为，，求的值.

23.（10分）【选修4－5：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）已知的最小值为，且正实数，满足，求的最小值．

参考答案

1．A

【分析】

求出集合A，B，然后进行交集和并集的运算即可求出A∩B和A∪B，然后即可用集合表示出阴影部分．

【详解】

∵A＝{x|﹣2＜x＜2，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，3}，

∴A∩B＝{﹣1}，A∪B＝{﹣1，0，1，3}，

∴阴影部分表示的集合为：{0，1，3}．

故选：A．

2．D

【解析】

因为,所以.选D.

3．C

【分析】

按要求两个数字为一个号，不大于60且前面未出现的数，依次写出即可

【详解】

根据题意得：抽样编号依次为，，，，第个是.

故选：C

4．B

【分析】

设黑色等腰直角三角形的腰长为，由题意分别表示出黑色部分和白色部分的面积，由几何概型概率的求解方法即可得解.

【详解】

设黑色等腰直角三角形的腰长为，则一个白色等腰直角三角形的腰长为，

则黑色部分的面积为，白色部分的面积为，

故所求概率为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了几何概型概率的求解，属于基础题.

5．B

【分析】

设经过天“进步”的是“落后”的倍，根据题意列出方程，解方程即可求解.

【详解】

设经过天“进步”的是“落后”的倍，

则即，

则

，

所以大约经过天“进步”的值是“落后”的倍.

故选：B.

6．C

【详解】

由已知为等比数列，

7．A

【分析】

求得导函数，由，，解得，则即可判断极大值点，进而求得极大值.

【详解】

因为，所以，

又因为函数在图象在处的切线方程为，

所以，，解得，.

由，，，，，知在处取得极大值，.

故选：A.

8．D

【分析】

将展开图复原为几何体，如图所示，根据正方体的性质，逐个分析判断即可

【详解】

解：展开图复原的正方体如图所示，由正方体的性质可知

与是异面直线，所以①错误；

与是平行直线，所以②错误；

连接，则与，所以或其补角为异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以，所以与成角，所以③正确；

与是异面直线，所以④正确，

故选：D

9．C

【分析】

首先确定程序框图的功能是计算数列的前10项的和，再利用数列的并项求和即可.

【详解】

该程序框图的功能是计算数列的前10项和，

于是输出的．
故选：C.

10．A

【分析】

根据渐近线方程可求得，由双曲线定义可求得，由勾股定理知，由此可求得所求面积.

【详解】

由双曲线方程知其渐近线方程为：，又一条渐近线方程为，，

由双曲线定义知：，

解得：，，又，

，，

.
故选：A.

11．D

【详解】

试题分析：因为①不是奇函数，③定义域不是，所以①③不合题意，又，且，都有等价于在上递增，而③在上第减，所以③错，而在上递增且为奇函数，

故选D.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.

12．B

【详解】

①不等两边同时除以，得．所以①对．

②因为，所以②对．

③选择正方体，上下底面为，为垂直下底面的的棱，为选两垂直棱中点的线，显然条件成立，但是不能推出．所以③错．

④由再直线垂直，可知，可得或．所以④错．选B.

13．B

【分析】

先将已知条件用首项和公差表示，然后可得的倍数关系，然后将用的形式表示并结合倍数关系，即可求解出结果.

【详解】

设数列的公差为，因为，

所以，

所以，所以.

故选：B.

14．

【分析】

由已知易得向量的坐标，代入模长公式，即可求得结果.

【详解】

向量，

则3（﹣2，），

所以4+3＝7，

所以，

故答案是：.

【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量线性运算坐标公式，向量模的坐标公式，属于简单题目.

15．

【分析】

以内切球的球心为定点，把正四面体拆成4个相同的小三棱锥，则小三棱锥的高即为内切球的半径，利用等体积法计算即可求出结果.

【详解】

如图，设内切球半径为，正四面体的高为，

，，，

，

.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：正三角形内切圆半径的算法是利用圆心把正三角形分成三个全等的三角形，然后用等面积法解决，类比到空间中，可以利用等体积法解决，考查学生的类比能力.

16．2

【分析】

根据求出左焦点的坐标，然后设的坐标，根据两点间的距离公式求出到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得的坐标，由得到为的中点，根据中点坐标公式求出的坐标，利用两点间的距离公式求出即可．

【详解】

由椭圆得，，

左焦点，设，则又

解得或（舍去）；

又在椭圆上，则将代入到椭圆方程中求出，

所以点，；

由点满足，则得为中点，

根据中点坐标公式求得，

所以

故答案为：2.

【点睛】

本题考查椭圆的简单几何性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，属于中档题．

17．（1）；（2）.

【解析】

分析：（1）结合题中所给的条件，涉及到的边长以及对应的角的余弦值，在中，应用余弦定理求得AC的长；

（2）在中，应用余弦定理求得，从而确定出，结合题的条件，确定出，在中，应用正弦定理，求得，之后分情况讨论，应用三角形面积公式求得结果.

详解：（1）在中，由余弦定理得，

，

（2）在中，由余弦定理得，

，又因为为三角形的内角

所以因为所以

在中，由正弦定理得，，即

解得，

因为，所以

当时，，所以

当时，，所以.

点睛：该题考查的是有关应用正弦定理和余弦定理解三角形的问题，在解题的过程中，需要灵活应用正余弦定理，在相应的三角形中，利用相应的条件，求得对应的解，最后应用面积公式求得三角形的面积，注意对角的大小进行讨论.

18．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）频数分布表，分布图见解析（Ⅲ）y=0.85x-9.1，预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩为76分

【分析】

（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶填写；

（Ⅱ）根据数学成绩的茎叶图计算各组的频数，并计算频率与组距的商作为直方图小矩形的高；

（Ⅲ）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程，利用回归方程进行估计．

【详解】

解：（Ⅰ）物理成绩的茎叶图如图所示；

（Ⅱ）数学成绩的频数分布表；

（Ⅲ）由已知得b=0.85，a=64-0.85×86=-9.1，

∴y=0.85x-9.1，

∴x=100时，y=75.9≈76，

预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩为76分．

【点睛】

本题考查了茎叶图，频率分布直方图的制作，线性回归方程的求解，属于中档题．

19．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

分析：(1)要证明无论点怎样运动,四边形为矩形；我们可根据已知中直四棱柱的底面是直角梯形，分别是上的动点，且，先由线面平行的性质定理，判断出四边形为平行四边形，再证明其邻边相互垂直，进而得到答案；（2）连接，我们易根据已知条件，结合直棱柱的几何特征和勾股定理，判断出到为四棱锥的高，根据及，我们计算出四棱锥面面积的和高，代入棱锥体积公式即可得到答案.

详解：（1）在直四棱柱中，，

∵，∴，

又∵平面平面，平面平面，

平面平面，

∴，∴四边形为平行四边形，

∵侧棱底面，又平面内，

∴，∴四边形为矩形；

（2）证明：连结，∵四棱柱为直四棱柱，

∴侧棱底面，又平面内，∴，

在中，，，则；

在中，，，则；

在直角梯形中，；

∴，即，

又∵，∴平面；

由（Ⅰ）可知，四边形为矩形，且，，

∴矩形的面积为，

∴几何体的体积为.

点睛：本题主要考查线面平行、面面平行、线线平行之间的转换，以及线面垂直、线线垂直的证明，属于中档题.解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；解答本题的关键是由线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直.

20．（1）增函数，理由见解析（2）证明见解析（3）

【分析】

（1）求导，利用导数的符号判断可得结果；

（2）利用导数，根据极值点的定义可证结论正确；

（3）根据在时取得最小值，在时取得最大值，可得在时取得最小值.

【详解】

（1）因为，所以，

因为，所以，

所以函数在区间上为增函数.

（2）设，则，

当时，，所以在上为减函数，

又，，

所以存在唯一，使得，

即存在唯一，使得，

与在区间内的变化情况如下：

所以函数在内有且只有一个极值点.

（3）由（1）（2）知，在内单调递增，在内单调递减，

又因为，，所以当时，，

又因为当时，，

所以，当且仅当时等号成立，

所以在上的最小值为.

【点睛】

关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值和最值是解题关键.

21．（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】

（Ⅰ）根据抛物线的定义可得点到其焦点的距离等于该点到准线距离，即可求出，从而得到抛物线方程，再计算出参数的值；

（Ⅱ）设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出线段的中点的坐标，因为直线为线段的垂直平分线，直线的方程为，设，，求出线段的中点坐标，再利用勾股定理计算可得；

【详解】

解：（Ⅰ）的准线为，

因为点到其焦点的距离等于该点到准线距离，

所以，

故，即，

又在上，

所以；

（Ⅱ）设，，

联立，得，

则，，

且，即，

则，

且线段中点的纵坐标为，则，

所以线段中点为，

因为直线为线段的垂直平分线，直线的方程为，

联立，得，

设，，

则，

故，

线段中点为，

因为，

，

所以，

所以点在以为直径的圆上，

同理点在以为直径的圆上，

所以、、、四点共圆．

【点睛】

(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

22．（1）或；（2）.

【分析】

（1）将点坐标代入圆的极坐标方程，由此求得；结合极点也在圆上求得的所有可能取值.

（2）求得直线的极坐标方程，并分别与的方程联立，求得，由此求得的值.

【详解】

（1）将的坐标代入：得到，

又因为（即极点）也在圆上，所以或.

（2）的斜率为，倾斜角为，所以直线的极坐标方程为，

联立与得，

联立与得，

所以.

23．（1）；（2）

【分析】

（1）通过去绝对值，得分段函数的解析式，然后分类讨论三种情况下的解集；（2）根据题意得，，利用均值不等式可得，再利用柯西不等式得，代入计算即可.

【详解】

解：（1）由题意知，

由，可得或或，

所以所求不等式的解集为．

（2）由（1）可知，，

则．因为，所以可得．

当且仅当时，取等号；由柯西不等式得，

当且仅当时，取等号；

因为，

所以当且仅当时，的最小值为．

【点睛】

关于绝对值不等式的一般解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．