2021西藏昌都市一中高三下学期5月高考第一次仿真考试数学（理）试题含答案

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西藏昌都市第一高级中学2021届高三全仿真考试试卷

数学（理工类）

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则的子集个数为（    ）

A．1   B．2      C．3        D．4

2．设为虚数单位，复数为复数的共轭复数，则

A．   B．   C．      D．

3．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形     的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分.若往该图案内投掷一点，则该点

落在图中阴影部分内的概率为（    ）

A．   B． C．     D．

4．已知展开式中，所有项的二项式系数的和为32，则其展开式中的常数项为（    ）

A．80   B． C．60     D．

5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是（    ）

A．该金锤中间一尺重3.5斤         B．中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍

C．该金锤的重量为15斤            D．该金锤相邻两尺的重量之差为1.5斤

6．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则的大小关系是（    ）

A．   B．   C．   D．

7．三次函数的图象在点处的切线与轴平行，

则在区间上的最小值是（    ）

A．        B．      C．         D．

8．如图是正方体的平面展开图．则在这个正方体中：

①与平行；②与是异面直线；

③与成角；④与是异面直线.

以上四个命题中，正确的命题序号是（    ）

A．③④       B．②④     C．①④        D．①③

9．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为，，

图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（　　）

A．10         B．6       C．7 D．16

10．设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P，满足，且原点O到直线的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

11．已知函数 ，则函数的零点个数为（    ）

A．      B．    C．       D．

12．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为正三角形，则下列结论中错误的是

A．的最小正周期为       B．在上单调递减

C．的值域为  D.的图象上所有的点向右平移个单位长度后，图象关于轴对称

第II卷（非选择题)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知平面向量与平面向量的夹角为，若，，，则__________．

14．已知等比数列的前n项和，则____________．

15．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点、的距离满足为常数，则点的轨迹为圆．已知圆：和，若定点（）和常数满足：对圆上任意一点，都有，则_____，面积的最大值为______ ．

16．如图，在三棱锥中，平面，，  ，若三棱锥外接球的表面积为，则 三棱锥体积的最大值为__________.

三、解答题：共70分，写出相应的证明过程和演算步骤．第17-21题为必考题，第22、23题为选考题．

17．(本小题满分12分)在中，内角满足且．

（1）求角的大小；

（2）若内角对边分别为，且，求边上的中线的长．

18．(本小题满分12分)盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分．现从盒内任取3个球．

（1）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；

（2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；

（3）设为取出的3个球中白色球的个数，求的 分布列．

19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥中，平面， ，，、分别为线段，上的点，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）求锐二面角的余弦值.

20．(本小题满分12分)已知抛物线经过点，是抛物线上异于点的不同的两点，其中为原点．

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）若，求面积的最小值．

21．(本小题满分12分)已知函数，．

（1）当时，求证：；

（2）当时，讨论函数的单调性．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为 ，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标

方程为.

(1)求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；

(2)设为椭圆上任意一点，求的最大值.

23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数，的解集为.

（1）求M；

（2）若正实数a，b，c满足，求证.

昌都市第一高级中学2021届高三全仿真考试（理数）答案

DBCAC    BDAAC   BD 13.或  14.162    15．，    16.

17.解：（1）在中，因为，所以

代入化简可得

因为，所以，

所以，化简得

因为，所以

（2）因为，所以

在中，由正弦定理且，得

在中，由余弦定理得．

所以

18.（1）取出的3个球中至少有一个红球的概率

（2）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件，则．（列出两情况2分列出一种情况1分；结果2分）

（3）可能的取值为0，1，2，3．

，，，．

的分布列为：

                                     （列出0，1，2，3四种情况1分，对应的概率1个1分）

19.（1）证明：因为，，所以，

所以为直角三角形，且，所以，因为 平面，平面，

所以，因为，所以平面，因为平面，

所以平面平面；

（2）过作于，因为为等腰直角三角形，且，所以，

因为，所以∥，所以，即，得，

因为平面，，所以两两垂直，所以以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

所以，

设平面的法向量为，则，

令，则，所以，

由（1）可知平面，所以是平面的一个法向量，设锐二面角的平面角为，则

,所以锐二面角的余弦值为

20.解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，

所以，得，所以抛物线的方程为，

（2）①当直线的斜率不存在时，设，因为直线的斜率之积为，

所以，化简得，所以，此时直线的方程为，

②当直线的斜率存在时，设其方程为，，

由，得，则，因为的斜率之积为，所以，

即，即可，解得（舍去），或，

所以，即，所以，即，

综上所述，直线过轴上的一定点（此题如果消也可以）

）21.（1）当时，，该函数的定义域为，

，

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

所以，，因此，当时，；

（2）当时，函数的定义域为，

.

①当时，即当时，则.

由可得，由可得.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

②当时，即当时，

由可得，由可得或.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；

③当时，即当时，则对任意的恒成立，

此时，函数的单调递增区间为；

④当时，即当时，

由可得，由可得或.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、.（如果没有总结这一步，不扣分）

综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；

当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、.

22.(1)由，得，

将代入，得直线的直角坐标方程为.

椭圆的参数方程为为参数）.（直线方程3分，椭圆方程2分）

(2)因为点在椭圆上，所以设，

则，

当且仅当时，取等号，所以.

23．（1）易知,在的最大值是9，

，即.

（2），

又，

当且仅当时，等号成立，又，

成立.