2021普宁普师高级中学高三下学期第二次模拟数学试题含答案

这是一份2021普宁普师高级中学高三下学期第二次模拟数学试题含答案，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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普师高级中学2020~2021学年高三第2次模拟考
数 学
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合A={1,2}，B={2,3，4}，则图中阴影部分所表示的集合是(    )
A. {1}
B. {3,4}
C. {2}
D. {1,2，3，4}
2. 己知i是虚数单位，复数z=1−i|i|，下列说法正确的是(    )
A. z的虚部为−i B. z对应的点在第一象限
C. z的实部为−1 D. z的共轭复数为1+i
3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是(    )
A. q：m⊥α，n//β，α⊥β B. q：m⊥α，n⊥β，α//β
C. q：m⊂α、n⊥β，α//β D. q：m⊂α，n//β，α⊥β
4. 下列结论正确的是(    )
①“a=14”是“对任意的正数x，均有x+ax≥1”的充分非必要条件．
②随机变量ξ服从正态分布N(2,22)，则D(ξ)=2
③线性回归直线至少经过样本点中的一个．
④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c>b>a
A. ③④ B. ①② C. ①③④ D. ①④
5. 已知函数fx=1+log2x−log24−x，则(   )
A. y=fx的图像关于直线x=2对称
B. y=fx的图像关于点2,1对称
C. fx在0,4单调递减
D. fx在0,4上不单调
6. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段13,23，记为第一次操作；再将剩下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n的最小值为(     )(参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，曲线C上一点P到x轴的距离为2a，∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率为
A. 3 B. 1+3 C. 2+3 D. 4
8. 已知锐角△ABC的一边BC在平面α内，A∉α，点A在平面α内的射影为点P，则∠BAC与∠BPC的大小关系为(    )
A. ∠BAC∠BPC
C. ∠BAC=∠BPC D. 以上情况都有可能
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分,错选多选得0分，漏选得2分）
9. 下列命题正确的是(   )
A. “a>1”是“1a0)的最小正周期为π，则下列说法正确的有(   )
A. ω=2
B. 函数f(x)在0,π6上为增函数
C. 直线x=π3是函数y=f(x)图象的一条对称轴
D. 点512π,0是函数y=f(x)图象的一个对称中心
11. 下表是某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：

生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其它类
营业收入占比
48.6％
15.8％
20.1％
10.8％
4.7％
净利润占比
65.8％
−4.3％
16.5％
20.2％
1.8％
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5％(营业利润率是净利润占营业收入的百分比)，则
A. 本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
B. 本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
C. 本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
D. 本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50％
12. 已知点P为▵ABC所在平面内一点，且PA+2PB+3PC=0，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是(    )
A. 向量PA与PC可能平行 B. 向量PA与PC可能垂直
C. 点P在线段EF上 D. PE:PF=1:2
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，则a+b在a方向上的投影为______．
14. 若(ax2+bx)6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为______．
15. 已知a,b,c是平面向量，a,c是单位向量，且=π3，若b2−9b⋅c+20=0，则2a−b最大值是___________
16. 已知x1是函数fx=2x+x−2的一个零点，x2是函数gx=log2x−1+x−3的一个零点，则x1+x2的值为________．




四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bsinC=3b−csinB−sinA．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若等差数列an的公差不为零，a1sinA=1，且a2、a4、a8成等比数列，求4anan+1的前n项和Sn．
18. 在①asinC−3ccos BcosC=3bcos2C；②5ccos B+4b=5a；③(2b−a)cosC=ccosA这三个条件中任选一个，补充在面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足__________．
(1)求sinC；
(2)已知a+b=5，△ABC的外接圆半径为433，求△ABC的边AB上的高ℎ.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2．

(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B−CD−C1的余弦值． 




20. 已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，A为C的上顶点，AF1⊥AF2，且▵AF1F2的面积等于1．
(1)求C的方程；
(2)若过点A的直线l1交C于另外一点M，l1关于直线AF1对称的直线为l2，l2交C于另外一点N(异于点M)，证明：直线MN过定点．
21. 已知函数f(x)=x3+3x．
(1)解不等式f(log22x)+f(log2x−3)≤0；
(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
22. 为了调查“双11”消费活动情况，某校统计小组分别走访了A、B两个小区各20户家庭，他们当日的消费额按[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)分组，分别用频率分布直方图与茎叶图统计如下(单位：元)：

(Ⅰ)分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在[500,600)的频率，并补全频率分布直方图；
(Ⅱ)分别从两个小区随机选取1户家庭，求这两户家庭当日消费额在[500,600)的户数为1时的概率(频率当作概率使用)；
(Ⅲ)运用所学统计知识分析比较两个小区的当日网购消费水平．



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普师高级中学2020~2021学年高三第2次模拟考
数学答案
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
23. 已知集合A={1,2}，B={2,3，4}，则图中阴影部分所表示的集合是(    )
A. {1}
B. {3,4}
C. {2}
D. {1,2，3，4}
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查集合的基本运算，以及韦恩图，比较基础．
由图象可知阴影部分对应的集合为B∩(∁NA)，然后根据集合的基本运算即可．
【解答】
解：由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩∁NA，
∵集合A={1,2}，B={2,3，4}，
∴B∩∁NA={3,4}，
故选：B．

24. 己知i是虚数单位，复数z=1−i|i|，下列说法正确的是(    )
A. z的虚部为−i B. z对应的点在第一象限
C. z的实部为−1 D. z的共轭复数为1+i
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念、几何意义、模、共轭复数和运算，属于基础题．
先化简z，再逐一判断即可．
【解答】
解：∵z=1−i|i|=1−i，
∴z的实部为1，虚部为−1；
z对应的点的坐标为(1,−1)，在第四象限;
z的共轭复数为1+i．
故ABC错误，D正确
故选D．


25. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是(    )
A. q：m⊥α，n//β，α⊥β B. q：m⊥α，n⊥β，α//β
C. q：m⊂α、n⊥β，α//β D. q：m⊂α，n//β，α⊥β
【答案】C
【解析】解：若p是q的必要条件，则只需q⇒p即可；
对于选项A，m、n的位置关系是平行、相交或异面，q不能推出p，所以A错误；
对于选项B，结论为m//n，则q不能推出p，所以B错误；
对于选项C，若n⊥β，α//β，则n⊥α；
又m⊂α，所以m⊥n，即q⇒p，所以C正确；
对于D，m、n的位置关系是平行、相交或异面，则q不能推出p，所以D错误．
故选：C．
由题意知，若p是q的必要条件，则只需q⇒p即可；分别判断四个选项中是否满足q能推出p，即可得出结论．
本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．

26. 下列结论正确的是(    )
①“a=14”是“对任意的正数x，均有x+ax≥1”的充分非必要条件．
②随机变量ξ服从正态分布N(2,22)，则D(ξ)=2
③线性回归直线至少经过样本点中的一个．
④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c>b>a
A. ③④ B. ①② C. ①③④ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查充分必要条件、正态分布、线性回归直线及统计知识的应用，关键是对相关知识的熟练掌握．
【解答】
解：①当a=14时，由基本不等式得x+14x≥214=1；但当对任意的正数x，均有x+ax≥1时，x=14不一定成立，所以“a=14”是“对任意的正数x，均有x+ax≥1”的充分非必要条件，故①正确；
②因为Dξ=22=4，所以②不正确；
③线性回归直线不一定经过样本点中的一个，所以③不正确；
④因为平均数为14.7，中位数为15，众数为17，所以c>b>a，故④正确．
所以正确的为①④．
故选D．


27. 已知函数fx=1+log2x−log24−x，则(   )
A. y=fx的图像关于直线x=2对称
B. y=fx的图像关于点2,1对称
C. fx在0,4单调递减
D. fx在0,4上不单调
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性，对称性，复合函数的单调性以及对数函数的性质，属于中档题．
根据题意对函数化简，可设，先判断函数gx的性质，再由平移关系得到.函数fx的性质，即可得解．
【解答】
解：，
则x>04−x>0，即函数的定义域为0,4，
设，x∈−2,2，
，
∴函数gx为奇函数，关于点0,0对称，
又∵2+x2−x在0,2上单调递增，
∴gx在定义域−2,2上单调递增，
∵函数gx=fx+2−1向右平移2个单位，向上平移1个单位得到函数fx，
∴fx关于点2,1对称，且在定义域0,4上单调递增，
故选B．

28. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段13,23，记为第一次操作；再将剩下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n的最小值为(     )(参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查等比数列的求和，等比数列的实际应用，涉及解指数不等式，属于中档题．
根据已知可得所有去掉的区间长度之和为Sn=13+29+⋅⋅⋅+2n−13n=1−(23)n，进而通过不等式求出结果，
【解答】
解：第一次操作去掉的区间长度为13；
第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；
第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…
第n次操作去掉2n−1个长度为13n的区间，长度和为2n−13n．
于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为Sn=13+29+⋅⋅⋅+2n−13n=1−(23)n，
由题意，1−(23)n⩾910，即nlg 23⩽lg 110，
解得：n⩾5.68，又n为整数，所以n的最小值为6．
故选C．

29. 设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，曲线C上一点P到x轴的距离为2a，∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率为
A. 3 B. 1+3 C. 2+3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线焦点三角形问题，余弦定理的应用，以及三角形面积公式应用，属于中档题．
设PF1=m，PF2=n，
则|m−n|=2a12mn32=12×2c×2a−12=m2+n2−4c22mn⇒c2−a2=23ac化简即可求解离心率．
【解答】
解：设PF1=m，PF2=n，
则|m−n|=2a12mn32=12×2c×2a−12=m2+n2−4c22mn⇒c2−a2=23ac,
故，
故选C．

30. 已知锐角△ABC的一边BC在平面α内，A∉α，点A在平面α内的射影为点P，则∠BAC与∠BPC的大小关系为(    )
A. ∠BAC∠BPC
C. ∠BAC=∠BPC D. 以上情况都有可能
【答案】A
【解析】解：过点P作PD⊥BC于点D，连结AD，如图，
则BD⊥平面APD，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，
Rt△PCD中，tan∠CPD=CDPD，
在Rt△APD中，AD>PD，∴CDAD0,则0