2021松原长岭县二中高三下学期第三次模拟考试数学试题含答案

【模拟试卷】

吉林省松原市长岭县第二中学

2020-2021学年度高三下学期第三次模拟考试卷

数学试卷

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由函数的值域为，可知，则；

由函数的值域为，可知．

所以，故选A．

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】解不等式，得，

因为，所以“”是“”的必要不充分条件，

故选B．

3．已知复数满足（为虚数单位），且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【解析】设，则，可得，

因为，，解得，，所以，则．

故选C．

4．设等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ）

A．当且仅当时，取最小值 B．当且仅当时，取最大值

C．当且仅当时，取最小值 D．当且仅当时，取最大值

【答案】A

【解析】因为，则，从而，

因此该等差数列是递增数列，所以．

由，得，则数列的前6项为负数，从第7项起为正数，

所以当且仅当时，取最小值，故选A．

5．若向量，，且与共线，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

，，

与共线，

，解得，故选B．

6．把5名志愿者分配到三个不同的社区，每个社区至少有一个志愿者，其中甲社区恰有1名志愿者的分法有（    ）

A．14种 B．35种 C．70种 D．100种

【答案】C

【解析】甲社区恰有1名志愿者有种，对其余4人先分组，再分配．

其余4人的分组有“3和1”及“2和2”两种分法：

（1）按“3和1”分组，有；

（2）按“2和2”分组，有；

故甲社区恰有1名志愿者的分法有，故选C．

7．若不等式对任意成立，则的取值范围为（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【解析】由题得不等式对任意成立，

所以，即，解得或，

故选A．

8．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】∵，∴，

∴，即函数是周期的周期函数．

又∵函数是定义在上的偶函数，且时，，

∴当时，，

令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，

分别作出函数和的图象，如下图，

显然与在上有1个交点，在上有一个交点，

当时，，而，

所以或时，与无交点．

综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2．

故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数和，则下列正确的是（    ）

A．的图象可由的图象向右平移个单位得到

B．时，

C．的对称轴方程为

D．若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为

【答案】ABD

【解析】对A，的图象向右平移个单位得到，

故A正确；

对B，当时，，，即，故B正确；

对C，，

令，解得，

即对称轴为，故C错误；

对D，，则的最大值为，故D正确，

故选ABD．

10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，下列有关的结论，正确的是（    ）

A．若为锐角三角形，则

B．若，则

C．，其中为外接圆的半径

D．若为非直角三角形，则

【答案】ABD

【解析】对于A中，若为锐角三角形，可得且，

可得，且，

根据正弦函数的单调性，可得，所以，所以A正确；

对于B中，在中，由，根据正弦定理可得，

则，可得，解得，所以B正确；

对于C中，由三角形的面积公式，可得，

由正弦定理知，，可得，所以C不正确；

对于D中，在中，可得，则，

所以，即，

可得，

则，所以D正确，

故选ABD．

11．已知实数，满足方程．则下列选项正确的是（    ）

A．的最大值是

B．的最大值是

C．过点作的切线，则切线方程为

D．过点作的切线，则切线方程为

【答案】AD

【解析】对于AB，设，即，

由圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，

即，解得，

即，，即的最大值是，故A正确，B错误；

对于CD，显然点在圆上，过与圆心的直线斜率为，由切线性质知，切线斜率，

所以切线方程为，整理得，故C错误，D正确，

故选AD．

12．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．是的极小值点

B．函数有且只有1个零点

C．存在正整数，使得恒成立

D．对任意两个正实数，，且，若，则

【答案】ABD

【解析】对于A选项，函数的定义域为，函数的导数，

∴时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增，

∴是的极小值点，故A正确；

对于B选项，，∴，

∴函数在上单调递减，

又∵，，

∴函数有且只有1个零点，故B正确；

对于C选项，若，可得，

令，则，

令，则，

∴在上，，函数单调递增；

上，，函数单调递减，

∴，∴，

∴在上函数单调递减，函数无最小值，

∴不存在正实数，使得成立，故C错误；

对于D选项，由，，结合A选项可知，，

要证，即证，且，

由函数在是单调递增函数，所以有，

由于，所以，

即证明，

令，

则，所以在是单调递减函数，

所以，即成立，

故成立，所以D正确，

故选ABD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设为虚数单位，则的展开式中含的项为________．

【答案】

【解析】的展开式的通项公式为，

令，则，

此时，即含的项为，

故答案为．

14．函数的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为，最小值为，则_______．

【答案】，

【解析】，记，

，

是奇函数，其图象关于坐标原点中心对称，

则的最大值和最小值之和为，

把的图象向上平移一个单位得到的图象，

即的图象关于点对称，且．

故答案为，．

15．已知直线过定点，过点向圆作切线，切点分别为，则弦所在的直线方程为____________．

【答案】

【解析】，，

由，得，．

，，点四点共圆，且圆心为的中点，

弦是圆和圆的公共弦，

又，即，且圆的半径，

圆…①，

又圆…②，

由①②，得弦所在直线方程为，

故答案为．

16．已知正三棱柱的体积为，，过点的平面与平面无公共点，则三棱柱在平面内的正投影面积为________．

【答案】

【解析】依题意，解得，

由题意得平面平面．

由于投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以就以平面为投影面．

如图①，构造四棱柱，作，，

连接，，

易得平面，平面，

则五边形即为三棱柱在平面内的正投影．

要计算的投影的面积即为图②所示图形的面积，

由题知，，

在中，又，可得，，

故所求正投影的面积为，故答案为．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，D为AC边上一点，，，．

（1）求的值；

（2）若，求AD的长．

【答案】（1）；（2）5．

【解析】（1）在中，据余弦定理，有．

又，所以．

（2）因为，则，

所以．

在中，据正弦定理，有，

所以．

18．（12分）已知正项数列的前项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为在正项数列中，，

可得，即，

又因为，所以，

所以数列是公差为2的等差数列，

又，所以．

（2）由（1）知，，

所以，

所以，

所以，

所以．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，面面，、分别为、的中点．

（1）证明：面面；

（2）求面与面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）设，则，∴，，

∴，∴，

∴．

在等边三角形中，为的中点，∴，

∵面面，面，面面，

∴面．

∵面，∴．

∵，，∴面．

∵，∴面，

∵面，∴面面．

（2）由（1）知，，以为坐标原点，、、分别为、、轴

建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，．

设面的法向量为，

，取，得，，，

面的法向量为，

∴，

∴面与面所成锐二面角的余弦值为．

20．（12分）2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人统计选考科目人数如下表：

（1）补全列联表；

（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中选考历史的人数为，求的分布列及数学期望；

（3）根据表中数据判断是否有的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由．

参考附表：

参考公式：，其中．

【答案】（1）见解析；（2）分布列见解析，；（3）有的把握认为，详见解析．

【解析】（1）根据题意补全列联表，如下：

（2）的所有可能取值为0，1，2，3，随机变量服从二项分布，

由题意，学生选考历史的概率为，且，

，，

，，

的分布列为

．

（3）由表中数据，计算的观测值，

参照附表知，有的把握认为“选考物理与性别有关”．

21．（12分）已知等轴双曲线的顶点，分别是椭圆的左、右焦点，且是椭圆与双曲线某个交点的横坐标．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线恒过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由已知可得双曲线方程为．

∵，∴交点为．

设椭圆的方程为，代入，得，

∴椭圆的方程为．

（2）证明：显然直线与轴不垂直．

设直线与椭圆相交于，，

由，得，

∴，．

∵，∴，

即，，

∴，

整理得，

即．

∵，，

整理得，∴，

∴直线恒过定点．

22．（12分）设函数．

（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；

（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）定义域为，，

当时，，即在上单调递增，不合题意，

；

令，解得．

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，

存在，使得成立，则，即，

又，

，即，

令，则，

在上单调递增，

又，，

即实数的取值范围为．

（2）当时，，则，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

由且，知，

令，，

则，

在上单调递增，，即，

，

又，；

，，

又且在上单调递减，

，即．