2021四川省天府名校高三下学期4月诊断性考试数学（理）含答案

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2021届天府名校4月高三诊断性考试

理数

本试卷共4页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡，上的指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M＝{x|2x<4}，集合N＝{x|≥2}，则N∩M＝

A.[1，2)     B.[1，2]     C.(1，2)     D.(1，2]

2.已知复数z满足：＝1－i，则|z|＝

A.     B.     C.1     D.

3.已知角α的终边绕原点O逆时针旋转后，得到角β的终边，角β的终边过点P(8，－m)，且cosβ＝，则tanα的值为

A.±     B.－     C.－     D.

4.宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有(     )个矩形

A.3025     B.2025     C.1225     D.2525

5.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，M(5，y0)为抛物线C上一点，以M为圆心的圆M与准线l相切，且过点E(9，0)，则抛物线的方程为

A.y2＝4x     B.y2＝2x     C.y2＝36x     D.y2＝4x或y2＝36x

6.已知a，b为不同直线，α，β为不同平面，则下列结论不正确的是

A.若a⊥α，b//α，则b⊥a          B.若aα，α//β，则直线a//平面β

C.若a//α，b⊥β，a//b，则α⊥β     D.若α∩β＝b，aα，a⊥b，则α⊥β

7.设a＝log74，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是

A.a>b>c     B.b>c>a     C.c>a>b     D.c>b>a

8.若变量x，y满足约束条件，且z＝x＋2y的最小值是－2，则a的值为

A.－     B.－2      C.－      D.－1

9.函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx的图象在[0，m)上恰有两个极大值点，则sin m的取值范围为

A.[－，]     B.[－，)     C.[－1，)     D.[－1，]

10.在△ABC中，∠BAC＝，AD平分∠BAC交BC于D，且AD＝2，则△ABC的面积的最小值为

A.3     B.4     C.4     D.6

11.已知三棱锥D－ABC的棱长均为1，现将三棱锥D－ABC绕着DA旋转，则D－ABC所经过的区域构成的几何体的体积为

A.     B.     C.     D.π

12.定义函数F(x)＝，若函数f(x)＝x2－2x＋1，g(x)＝x2－ax＋b，且对任意的x∈R，都有F(x)＝F(4－x)成立，函数y＝F(x)的图象与y＝m自左向右有四个交点A、B、C、D，则|BC|·m的范围为

A.(0，]     B.(0，)      C.(0，1)     D.(，)

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.若(2－mx)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，若a3＝－40，则m＝          。

14.在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E，F是线段AC的三等分点，则＝          。

15.等边△ABC的边长为2，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△A'BD，使得∠A'DC＝，若该三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为          。

16.已知点F1，F2是椭圆C1：(a1>b1>0)与双曲线C2：(a2>0，b2>0)的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点M是C1和C2在第一象限的公共点，且∠F1MF2＝60°，若e1＝时，则e2＝          。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

在正项等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4是等差数列{bn}的前三项。

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn。

18.(本小题满分12分)

某地盛产橙子，但橙子的品质与当地的气象相关指数λ有关，气象相关指数入λ越高，橙子品质越高，售价同时也会越高。某合作社统计了近10年的当地的气象相关指数λ，得到了如下频率分布直方图。

(1)求a的值；

(2)从近10年中任意抽取3年研究气象指数λ对橙子品质的影响，求这3年的气象相关指数λ在[0.9，1]之间的个数X的数学期望；

(3)根据往年数据，该合作社的利润y(单位：千元，利润＝收入－投入)与每亩地的投入x∈[4，8](单位：千元)和气象相关指数λ的关系如下：y＝100λ－－4x－40，x∈[4，8]，气象相关指数λ取何值时，能使对于任意的x∈[4，8]时该合作社都不亏损。

19.(本小题满分12分)

如图所示，几何体ABCDEFG中，四边形ABCD为菱形，ED⊥平面ABCD，FA//GC//ED，FA＝GC＝ED，FG＝2，BE＝4，平面BFG与平面ABCD的交线为l。

(1)证明：直线l⊥平面BDE；

(2)求直线BG与平面BDE所成角的正弦值的范围。

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C：的左焦点为F1，过点F1作x轴的垂线与椭圆在第二象限的交点为M。椭圆的左、右顶点分别为A，B，已知△MAB的面积为3，。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线MB与y轴交于点N，过点N作直线与椭圆交于P，Q两点，若。求直线PQ的方程。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝lnx－ax＋a(a≠0)。

(1)讨论函数f(x)的零点的个数；

(2)当a>0时，若f(x)≤b＋2a恒成立，证明：≥－2。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数)。

(1)求曲线C的普通方程；

(2)过点A(3，0)且斜率为的直线与C的交点分别为点M，N，求的值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－2|＋|x－4|。

(1)求不等式f(x)≤2x＋2的解集；

(2)若函数f(x)的最小值为m，正数a，b满足a＋b＝m，求的最小值。