2021北京顺义区高三下学期第二次统练数学试题含答案

这是一份2021北京顺义区高三下学期第二次统练数学试题含答案，共15页。
北京市顺义区2021届高三下学期第二次统练数学试题数    学考生须知1．本试卷共4页，共两部分．21道小题，满分150分，考试时间120分钟．2．在答题卡上准确填写学恔名称、姓名、班级和教育ID号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡，在试卷上作答无效．4．在答题卡上选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后．请将答题卡上交．第一部分（选择题  共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则（    ）A．    B．    C．    D．2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限3．在的展开式中，的系数为（    ）A．    B．    C．    D．404．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）A．       B．C．        D．5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（    ）A．    B．1    C．    D．26．已知函数，则不等式的解集是（    ）A．                      B．C．    D．7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（    ）A．0.25    B．    C．0.89    D．8．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（    ）A．    B．    C．    D．9．已知函数，则“存在使得”是“”的（    ）A．充分必要条件    B．充分而不必要条件    C．必要而不充分条件    D．既不充分也不必要条件10．设函数，若恰有两个零点，则实数a的取值范围是（    ）A．    B．    C．    D．第二部分（非选择题  共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．设向量，若，则实数__________．12．若双曲线的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为________．13．已知为等差数列，为其前n项和，若，则公差_________，的最大值为_________．14．已知是任意角，且满足，则常数k的一个取值为__________．15．曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②周长的最小值为；③点P到y轴距离的最大值为；④点P到原点距离的最小值为．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形．且平面，M，N分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值．   17．（本小题13分）在中，已知，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
18．（本小题14分）某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：教师：60  63  65  67  75  77  77  79  79  82  83  86  87  89  92  93  96  96  96学生：47  49  52  54  55  57  63  65  66  66  74  74  75  77  80  82  83  84  95  96根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．（Ⅰ）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；（Ⅲ）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．     19．（本小题14分）已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）过点斜率为的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得（点N与点M不重合），若你在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
20．（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）已知曲线在点处的切线方程为，求m的值；（Ⅱ）若存在，使得，求m的取值范围．     21．（本小题15分）已知数列，记，首项，若对任意整数，有，且是k的正整数倍．（Ⅰ）若，写出数列的前10项；（Ⅱ）证明：对任意，数列的第n项由唯一确定；（Ⅲ）证明：对任意正整数，数列从某一项起为等差数列．
北京市顺义区2021届高三下学期第二次统练数学试题参考答案一.     选择题（共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案DBACCDABBC(11)                                  (12) (13) ，（前3分，后2分）          (14)  （答案不唯一）(15)  ①②④三．解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）如图，连接，因为，分别是，的中点，所以.-----------------2分又，，所以平面.-----------5分（Ⅱ）因为平面，，，所以，.因为底面是正方形，所以.以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.------6分则，，，.-------------8分因为是的中点，所以.所以，，.------10分设平面的法向量为，所以. 即.令，则，.于是.--------------------------------------12分设直线与平面所成角为，则.---------14分所以与平面所成角的正弦值为.（17）（共13分）解：选择条件①：.（Ⅰ）在中，由正弦定理：.--------------1分所以.又，所以.--------------------------------------2分因为，所以.----------------------------3分因为，所以.-----------------------------------4分由余弦定理：，--------------------5分所以.----------------------------6分解得.因为，所以.--------------------------------------8分（Ⅱ）因为，，所以.--------------------------------------10分所以.-------------13分选择条件②：．（Ⅰ）在中，因为，所以.----------------------------3分因为，所以.所以.---------------------------------5分因为，所以.所以.-------------------------------------8分（Ⅱ）因为，，，所以.-----------13分（18）（共14分）解：（Ⅰ），.----------------------------------2分（Ⅱ）由题意可知，随机抽取的教师对该菜品非常满意的概率为.-----------------------------3分X的取值为0，1，2，3，-----------------------------4分则~，.所以，--------------------5分，----------------------------6分，---------------------------7分.--------------------------8分所以的分布列为：X0123  ---------------------------9分故的期望.--------------------------10分（Ⅲ）设事件为“教师对该菜品满意”，设事件为“教师对该菜品非常满意”，设事件为“学生对该菜品不满意”，设事件为“学生对该菜品满意”，设事件为“教师的满意度等级高于学生的满意度等级”则.--------------------------------11分易知.因为事件,，彼此互斥，事件，，，彼此独立，所以.----14分所以教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为.（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得，----------------------------1分解得，.------------------------------3分所以椭圆的方程为.--------------------4分（Ⅱ）解法一：设，，，所以直线AN的斜率为，直线BN的斜率为.------------------------6分所以当且仅当.-------------7分即满足.--------------------------------9分即.根据题意，直线l的方程为.-----------------10分由得.---------------11分则，.----------------13分所以.又因为，所以.----------------------------------------14分因此在轴上存在点N使得，点的坐标为.（Ⅱ）解法二：设，，，当t=0时，，显然，不满足题意.所以直线AN的斜率为.--------------------5分所以直线AN的方程为.所以原点O到直线AN的距离为.同理可得原点O到直线BN的距离为.-6分所以当且仅当.-----------------7分即.因为，所以.根据题意，直线l的方程为.------------------8分所以.整理得因为，，所以，.所以.-------------------------10分由得.--------------11分则，.----------------13分所以.又，所以.所以.---------------------------------------14分因此在轴上存在点N使得，点的坐标为.（20）（共15分）解：（Ⅰ），--------------------------------2分因为曲线在点处的切线方程为，所以，即.--------------------4分所以.--------------------------------------5分（Ⅱ）存在，使得等价于在区间上有解，-------------6分显然不是的解，即等价于在区间上有解.---------------7分设，，则.----------------------------9分设，，则.-----------------------------11分所以在区间上单调递减.所以.------------------------12分所以，所以在区间上单调递增.所以.-------------------------14分依题意需，所以的取值范围为.-------------------15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5.------------------4分（Ⅱ）当时，根据题意为偶数，并且，所以.从而由唯一确定.---------------------------------6分接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同取值.假设第项是第1个可以有两种不同取值的项，即前面项由唯一确定.记第项的两种取值为和，根据题意存在使得………①且………②并且满足. ----------------------------8分由①②两式作差可知是的倍数，又因为，可知，矛盾. 从而对任意，数列的第n项由唯一确定. ---10分（Ⅲ）方法一：因为，所以.------------------------11分因为都是正整数，由整数的离散性有.---13分因此，存在，当时，为常数.----------------14分不妨记为，从而当时，有.所以从第项起为等差数列.----------------------15分方法二：一方面，记.如果，取，那么是的倍数.------11分同理...，即从第项起，数列为常数.----------------------12分另一方面，由于，所以.----------------13分当时，，所以当时，，满足.取，则从第项起，数列为等差数列.-----------15分