2021湖北省十一校高三下学期3月第二次联考数学试题含答案

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2021届高三湖北十一校第二次联考

数学试题

考试时间：3月24日 15:00-17:00

考试用时：120分钟 全卷满分：150分

★祝考试顺利★

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.已知＝(1+2i)=2-i,则复数z＝（）

A.-1                           B. –i            C.i                D. 2+i

2.已知θ∈，且 sin，则tanθ=(       ）

A.7                             B.               C.          D        .

3.已知等差数列{an}的第5项是（x-＋2y)6展开式中的常数项，则a2+a3=(         ）

A.20           B.-20         C.40         D.-40

4.下列命题错误的是（           ）

A.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

B.设～N(1, 2),且P(<0)=0.2,则P(1<<2)=0.2

C.线性回归直线=bx+a一定经过样本点的中心（,)

D.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高

5.设A,B,C,D是同一个半径为6的球的球面上四点，且AABC是边长为9的正三角形，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）

A.            B.           C.             D.

6.已知非空集合A,B满足以下两个条件：

（1)A∪B={1,2,3,4},A∩B=Ø;

（2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．

则有序集合对（A,B)的个数为（   ）

A.1              B.2        C.3        D.4

7.直线x-y+1=0经过椭圆＝1(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点，交y轴于C点，若,则该椭圆的离心率是（      ）

A.          B.                  C.2-2            D. -1

8.已知函数f(x)= ，若m≠n,且f(m)+f(n)=4,则m+n的最小值是（）

A.2                                B.e-1               C. 4-3ln3               D.3-3ln2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球．下面几个命题中正确的是

A.如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件

B.如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率

C.如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是

D.如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是

10.设函数f(x)=sin(x+)+cos(x+)(>0,|φ|≤)的最小正周期为π,且过点（0，),则下列正确的为（    ）

A.φ= -

B.f(x)在（0，)单调递减

C.f(|x|)的周期为π

D.把函数f(x)的图像向左平移个长度单位得到的函数g(x)的解析式为g(x)= os2x

11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点．则（      )

A.直线D1D与直线AF垂直

B.直线A1G与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为

D.点A1和点D到平面AEF的距离相等

12.数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素。如我们熟悉的o符号，我们把形状类似∞的曲线称为“x曲线”。经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点A(-a,0),B(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹C是“∞曲线”．若点P(x0,y0)是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（）

A.曲线C关于原点O中心对称；

B.x.的取值范围是［－a,a]；

C.曲线C上有且仅有一个点P满足|PA|=|PB|；

D.PO2-a2的最大值为2a2.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知单位向量,满足|+|=|-2|,则与的夹角为          .

14.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示，则直方图中的x值为          .

15.写出一个渐近线的倾斜角为60°且焦点在y轴上的双曲线标准方程          .

16.已知不等式（2ax-lnx)[x2-(a+1)x+1]≥0 对任意x>0恒成立，则实数a的取值范围是          .

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.

（1)求cos∠ADB;

（2)若DC=2,求BC.

18.(本小题12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=,BC=2, ∠ABC=,四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD,AF=1,点M在线段EF上运动．

（1)当AE⊥DM时，求点M的位置；

（2)在（1)的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值．

19.(本小题12分）已知数列{an}a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N*).

（1)求{an}的通项公式;

（2)数列｛b%}满足bn=，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m,k(1<m<k),使得Sk=4Sm2? 若存在，求出m,k的值；若不存在，请说明理由。

20.(本小题12分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1,2, …, 7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．

（I)如图1,进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；

（II)小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用 图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元，其中ξ=|16-4m|.小明改进了高尔顿板（如图2),首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1,2,...,5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为n元，其中η=(n-4)2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由。

21.(本小题12分）已知动点P在x轴及其上方，且点P到点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.

（1)求点P的轨迹C的方程；

（2)若点Q是直线y=x-4上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB,其中A、B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标。

22.(本小题12分）已知函数f(x)= 在x=2时取到极大值.

（1)求实数a、b的值；

（2)用min{m.,n)表示m,n中的最小值，设函数g(x)=min{f(x),x-}(x>0),若函数h(x)=g(x)-tx2为

增函数，求实数t的取值范围。

2021届高三湖北十一校第二次联考数学参考答案

13.        14.        15. （答案不唯一）     16.

17.（1）在中，由正弦定理得 .

由题设知，，所以.

由题设知，，所以；  ……………………5分

（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得

所以BC=5.               ……………………10分

18.（1）∵，∴

又，

平面平面，平面平面，

平面，   ∴平面，

以AB，AC，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

设

则，

∵，∴，解得，∴．

∴当AE⊥DM时，点M为EF的中点．        ……………………6分

（2）由（1），,设平面的一个法向量为，则 ，取，则，

易知平面ECD的一个法向量为，

∴，

∴平面MBC与平面ECD所成二面角的余弦值为.      ……………………12分

19.（1）将代入

由①，可以得到②，

得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，

当时，

当时， 

.              ……………………6分

（2）∵

∴.

若，即，得.

∵   ∴∴.

∴    解得，矛盾.

∴不存在m,k满足题意.             ……………………12分

20.（1）设这个小球掉入5号球槽为事件．掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以（A）．所以这个小球掉入5号球槽的概率为．                                          ……………………4分

（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，12．

，

，

，

．

一次游戏付出的奖金，则小红的收益为. ………8分

小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9．

，

，

，

．

一次游戏付出的奖金,则小明的收益为4-1=3.

∵ ∴小明的盈利多.           …………………12分

21.（1）设点，则，即

化简得  ∵ ∴.

∴点的轨迹方程为.             …………………4分

（2）对函数

设切点，则过该切点的切线的斜率为，

∴切线方程为即

设点，由于切线经过点Q，∴

即

设 ，则是方程的两个实数根，

∴，                             …………………8分

设M为AB中点，∴.

∴

∴点   又∵

∴直线AB的方程为，即

∴当时，方程（*）恒成立.

∴对任意实数t，直线EF恒过定点(2,4).        …………………12分

22.（1）∵

∵在x=2时取得极大值

∴

解得a=1, b=0.             ……………………4分

（2）设

当

∴

∵

不间断，故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的

∴ 当

∴         

∴         ……………………8分

故

由于函数

∴

①，

则单调递减，

在

②当

    综合①、②知， …………………12分