2021全国百强名校“领军考试”高三下学期3月联考数学（理）含解析

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“领军考试”高三数学(理数)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若x，y∈R，且＝1＋i，则|x－yi|＝

A.     B.     C.5     D.2

2.角α的终边与角－α的终边重合，则cos2α＝

A.     B.     C.－     D.－

3.已知集合A＝{x|(x－a)(x－a－1)<0}，B＝{x|log2x<g}，若B∁RA，则实数a的取值范围是

A.(－∞，－1]     B.[2，＋∞)     C.(－∞，1]∪[2，＋∞)     D.[－1，2]

4.正态分分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，对这些数据进行分析发现这些数据变量X，近似服从N(9，σ2)，若P(X<10)＝0.91，则P(X≤8)＝

A.0.09     B.0.41     C.0.59     D.0.91

5.已知0.3<03b<0.3a<1，设x＝a3b，y＝，z＝logb，则

A.z>x>y     B.x>z>y     C.z>y>x     D.x>y>z

6.已知三楼锥P－ABC中，PC中点为D，AB中点为E，DE⊥PB，AC＝3，PB＝2，则异面直线AC与PB所成角的余弦值为

A.     B.     C.     D.

7.已知双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－10y＝0截得的线段长不小于8，则双曲线C的离心率的取值范围为

A.(0，)     B.(，＋∞)     C.(0，]     D.[，＋∞)

8.已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝2，a·b＝0，设a与ka＋b的夹角为θ，若cosθ＝，则k＝

A.2     B.1     C.±2     D.±1

9.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(<φ<π)的图象向左平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若f()＝g()且f(x)，g(x)的图象不重合，则

A.g(x)图象关于点(，0)对称     B.g(x)的图象关于直线x＝－对称

C.g(x)在(0，)上是增函数       D.是g(x)的极小值点

10.已知函数f(x)＝x2(x>0)，g(x)＝aex若f(x)与g(x)的图象交于点P，且存在过点P的直线与f(x)，g(x)的图象都相切，则g(x)的图象在x＝1处的切线方程为

A.4x－ey＝0     B.ex－4y＝0     C.2x－y＝0     D.x－2y＝0

11.过地物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线C交于点A，B，与抛物线C的准线交于点P，且|AB|＝|BP|，则|AF||BF|＝

A.     B.     C.     D.

12.已知函数f(x)＝，若x1<x2，x1<x3，且f(x1)＝f(x2)，f(x1)＋f(x3)＝4，则的取值范围是

A.(－，0]     B.(－，0)     C.(－∞，0)     D.(－，0]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(2x－1)(x＋y＋z＋1)5的展开式中x2y的系数为           。

14.已知实数x，y满足约束条件，则x－的取值范围是           。

15.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b>c，bc＝，且，则△ABC的面积的最大值是           。

16.已知球O的半径为4，点A，B，C在球O的表面上，CA＝CB，且平面ABC⊥平面ABO，球O上的点到平面ABC的最大距离为5，则三棱锥O－ABC的体积为           。

三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

已知数列{an}的前n项的和为Sn，且。

(1)求Sn；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。

18.(12分)，

在棱台ABCD－A1B1C1D1中，侧面A1B1BA⊥底面ABCD，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1都是正方形，且AB＝4，A1B1＝2，AA1＝BB1＝。

(1)过点A1作平面α，使得平面α//平面C1CDD1，确定平面α与直线BC的交点M的位置，并说明理由；

(2)若点O为棱AB的中点，求平面A1OC与平面DCC1所成锐二面角的余弦值。

19.(12分)

2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功。某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：[30，40)，[40，50)，…，[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)估计这100名学生测试分数的中位数；

(2)把分数不低于80分的称为优秀，己知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关：

附：

。

(3)对于样本中分数在[80，90)，[90，100]的人数，学校准备按比例从这2组中抽取12人，在从这12人中随机抽取3人参与学校有关的宣传活动，记这3人中分数不低于90分的学生数为X，求X的分布列。

20.(12分)

已知斜率为的直线l与椭圆C：交于点A、B，线段AB中点为D(－1，1)，直线l在y轴上的截距为椭圆C的长轴长的倍。

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P，Q，M，N都在精圆C上，且PQ，MN都经过椭圆C的右焦点F，设直线PQ，MN的斜率分别为k1，k2，k1＋k2＝－1，线段PQ，MN的中点分别为G，H，判断直线GH是否过定点，若过定点求出该定点，若不过定点，说明理由。

21.(12分)

已知函数f(x)＝ex－lnx－1。

(1)判断f(x)的单调性；

(2)若方程f(x)＝ax－a－1(a>0)有唯一实根x0，求证：1<x0<2。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)。在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝a。

(1)求曲线C1及曲线C2的直角坐标方程；

(2)若射线θ＝(ρ>0)与曲线C1及曲线C2交于同一点A，求曲线C1与曲线C2另一个交点B的极坐标。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知f(x)＝|x－a|＋x2。

(1)若a＝2，求不等式f(x)≥|x＋2|的解集；

(2)若0≤x≤1时f(x)<2，求实数a的取值范围。