2020遂宁高三第三次诊断考试数学（理）含答案

遂宁市高中2020届三诊考试

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（12×5=60分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.        14.        15.       16.（选修2-1P98第3题）

三、解答题：本大题共70分。

17．（本小题满分12分）

【解析】（1）由函数的部分图象可得

,,即,则，又函数图像过点 ，

则，

即，又，即，（每个值1分）

即，则 …………4分

由，，得，，

所以函数的单调增区间为………6分（少扣1分）

（2）由，得，因为，所以，

所以，，

又，由正弦定理得①．             ……………8分

由余弦定理，得，即②．

由①②解得，．                           ……………10分

又，所以，所以为直角三角形，且角为直角。

故，所以的周长为。                     ……………12分

18．（本小题满分12分）

【解析】（1）因为在长方体中，有平面，所以，

因为四边形是正方形，所以，又从而平面．而平面，所以。         ……………4分

（2）因为在长方体中，有，，两两垂直，

所以建立空间直角坐标系如图所示．

由(1)知为直线与平面所成的角

又因为与平面所成角为，

所以，

所以．由可知，

所以，又，

即，故，

则，，，，，

所以，

设平面的法向量为，则，

即，令，则         ……………7分

因为平面，所以为平面的法向量，，

所以．

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．……………9分

（3）点是线段上一个动点，设,则，

因为平面，所以，

即，解得．

此时，点M坐标为，，符合题意． ……………12分

19．（本小题满分12分）

【解析】(1)设代表队共有人，则，所以，设一等奖代表队男生人数为，则，解得，则一等奖代表队的男生人数为，故前排就坐的一等奖代表队有3男3女，共6人。……………2分

则的可能取值为，，，。

则,,，，所以的分布列

……………5分

          ……………6分

(2) 试验的全部结果所构成的区域为，

面积为，                            ……………8分

事件表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为，

如图阴影部分的面积为，……………10分

这是一个几何概型，所以。

即代表队队员获得奖品的概率为。          

 ……………12分

20．（本小题满分12分）

【解析】：（1）因为，所以，

当时，，， 在上单调递增，，在上无零点；           ……………3分

当时，，，在上单调递减，，，在上有唯一零点；

综上，函数在区间上有唯一一个零点。        ……………5分

（2）①，                                       ……………6分

证明过程如下：

设函数，则，

令，得；令，得.所以，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

则函数在处取得极小值，亦即最小值，即，

即；

综上成立                                   ……………9分

②证明成立，即证明成立，

因为在上单调递增，，

即，所以，

由①知，即有，

有成立，当时， ，此时能取等号。

即，

即成立                   ……………12分

21．（本小题满分12分）

【解析】：（1）椭圆上的点的下辅助点为，

辅助圆的半径为，椭圆长半轴为，

将点代入椭圆方程中，解得，

椭圆的方程为；                      ……………4分

（2）设点，则点，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，，，故，即，

又，则

将与联立可解得或，

下辅助点的坐标为或      ……………7分

（3）由题意可设，.

联立整理得，

则.

根据韦达定理得                   ……………8分

因为四边形是对边平行且相等和容易变形的四边形，即四边形恰好为平行四边形，所以.所以，

因为点在椭圆上，所以，

整理得，即              ……………10分

在直线l：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，.

令，得，令，得.

所以三角形面积为

当且仅当，时，取等号，此时.且有，

故所求的值为.                                 ……………12分

22．（本小题满分10分）

【解析】：（1）将曲线方程，先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到曲线的方程为，也即，故曲线的参数方程为为参数）；                        ……………2分

又点为曲线上任意一点，

所以，

所以的最大值为                           ……………5分

（2）由（1）知曲线C的直角坐标方程为，又直线l的参数方程为，

（为参数），所以直线的普通方程为，

所以有解得或，          ……………8分

所以线段的中点坐标为，即线段的中点坐标为，直线的斜率为，则与直线垂直的直线的斜率为，故所求直线的直角坐标方程为，即，将代入，得其极坐标方程为                                 ……………10分

23．（本小题满分10分）

【解析】：（1）不等式化为，即，等价于①或②，

由①解得，由②解得或，             ……………4分

所以不等式的解集为．       ……………5分

（2）根据绝对值三角不等式可知

，             ……………7分

因为的值域为

所以，则，

故

，当且仅当，即时取等号时，

由基本不等式可得．                   ……………10分