2021上饶横峰中学高二上学期第一次月考数学(理课改班)试题含答案
展开2020-2021学年上学期第一次月考高二课改班数学试卷
命题人: 审题人:
一、单选题(共60分)
1.平面平面,,,,则( )
A. B. C. D.与相交但不一定垂直
2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )
A.4 B.2 C.6 D.8
3.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为( )
A. B. C. D.
4.设,则“”是的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知抛物线,点为抛物线上任意一点,则点到直线的最小距离为( ) A. B. C. D.
6.已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点,若是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.
7.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20° B.40° C.50° D.90°
8.若展开式中常数项为60.则常数a的值为( ) A.4 B.2 C.8 D.6
9.由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2必须相邻的五位数的个数是( )
A.32 B.36 C.48 D.120
10.已知双曲线和椭圆有相同的焦点,则的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5
11.已知双曲线的左右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线相交于两点,其中为坐标原点,若与圆相切,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.
12.矩形中,,为边的中点,将沿翻折成(平面),为线段的中点,则在翻折过程中,下列命题:
①与平面垂直的直线必与直线垂直;
②线段的长为;
③异面直线与所成角的正切值为;
④当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球表面积是.
正确的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(共20分)
13.命题“,”的否定是_______.
14.已知,则_______.
15.某同学同时掷两颗均匀正方形骰子,得到的点数分别为,,则椭圆的离心率的概率是__________.
16.在三棱锥中,底面,,,,是线段上一点,且.三棱锥的各个顶点都在球表面上,过点作球的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为,则球的表面积为__________.
三、解答题(共70分)
17.(本题10分)已知椭圆C的焦点(-,0)和(,0),长轴长6.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标.
18.(本题12分)如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,底面.
(1)求证:平面;
(2)若,直线与平面所成的角为,求四棱锥的体积.
19.(本题12分)已知、、是的内角,、、分别是其对边长,向量,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求面积的最大值.
20.(本题12分)已知展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.
(1)求展开式中含有的项;
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
21. (本题12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,底面,为的中点,,.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
22.(本题12分)已知椭圆()的离心率为,以的短轴为直径的圆与直线相切.
(1)求的方程;
(2)直线交于,两点,且.已知上存在点,使得是以为顶角的等腰直角三角形,若在直线的右下方,求的值.
参考答案
CACCB ABACB CC
13.,
14.502
15.
16.
17. 试题解析:(Ⅰ)由已知得,
(Ⅱ)
考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程
18.解:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,
又因为PD⊥平面ABCD,平面ABCD,
所以PD⊥AC,又,
故AC⊥平面PBD;
(2)因为PD⊥平面ABCD,
所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角,
于是∠PBD=45°,
因此BD=PD=2.又AB= AD=2,
所以菱形ABCD的面积为,
故四棱锥P- ABCD的体积.
19. (1),,,
,
由正弦定理得,整理得,
,
,;
(2)在中,,,
由余弦定理知,
由基本不等式得,当且仅当时等号成立,,
,因此,面积的最大值为.
20. (1)证明:如图,取的中点,连, ,
∵,,
∴
∵在直角梯形中,
∴,
∴,
∴四边形为平行四边形,
∴
∵平面,平面,,
∴平面,
(2)∵平面,,
∴, ,两两垂直,以为原点,
,,向量方向分别为轴,轴,
轴建立如图所示空间直角坐标系.
各点坐标如下:,,,,
设平面的法向量为
由,,
有,取,则,,
即
设平面的法向量为
由,,有,
取 ,则,,即
所以
故二面角的正弦值为.
21.解:令得展开式各项系数和为,二项式系数为,
由题意得:,解得,
(1)通项公式为
令,,.
(2),展开式共6项,二项式系数最大项为第三、四项,
,
22. (1)依题意,,
因为离心率,
所以,解得,
所以的标准方程为.
(2)因为直线的倾斜角为,
且是以为顶角的等腰直角三角形,
在直线的右下方,所以轴,
过作的垂线,垂足为,则为线段的中点,
所以,故,
所以,即,
整理得.①
由得.
所以,解得,
所以,②
,③
由①②得,,④
将④代入②得,⑤
将④⑤代入③得,解得.
综上,的值为.
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