2021省齐齐哈尔甘南县二中等八校高一下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2021省齐齐哈尔甘南县二中等八校高一下学期期中考试数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年度下学期八校联考高一数学期中试卷

本试卷分Ⅰ、Ⅱ卷，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．)
1. 已知全集为R，集合A＝{x |}，B＝{x|x2－x－2>0}，则A∩(∁RB) A．[0,1]　　 B．[-1,2] C．[0,2] 　 　 D．[1,2] (　　)
2．“平面向量a与b满足a·b<0”是“a与b的夹角是钝角”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量OA与OB，则表示向量BA的复数为(　　)
A．3＋9i B．2+8i C．－9－i D．9+i
4．下列命题正确的是 (　　)
A．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
5．已知D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于 (　　)
A. ＋ B．－＋ C. － D．－－
6．已知平面xOy内有向量＝(1，7)，＝(5，1)，＝(2，1)，点M为直线OP上的一个动点，当取最小值时，则M的坐标为 (　　)
A． B． C．(4，2) D．(6，3)
7．已知定义在R上的函数f(x－1)的图象关于x＝1对称，当x>0时，f(x)单调递减，若a＝f(0.5-1.1)，b＝f(log0.53)，c＝f(log32)，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A．c>b>a B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
8. 底面为正方形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥P－ABCD的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则这个球的表面积为 (　　)
A．32π　　 B．36π C．48π　　　 D．72π
二、多选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分．)
9．若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且a=1，b=1，c=3，则a+b+c= (　　)
A． 2 B.2 C. 5 D. 5
10．正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，EF＝1，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积 (　　)
A．与点Q的位置有关 B．与点E，F的位置有关
C．与点E，F，Q的位置均无关 D．三棱锥A′－EFQ的体积恒为
11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是 (　　)
A.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，OA=AB，则向量BA在向量BC上的投影向量为
B．若a cosB－bcosA=c,则△ABC为直角三角形
C. 若sinAcosA=sinBcosB,则△ABC为等腰三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，a=2bsinA,则cosA+sinC的取值范围为
12. 在△ABC所在平面内有三点O，N，P，，则下列说法正确的是 （ ）
A. 满足OA=OB=OC，则点O是△ABC的外心
B. 满足，则点N是△ABC的重心
C. 满足PA∙PB=PB∙PC=PC∙PA，则点P是△ABC的垂心
D.满足ABAB+ACAC∙BC=0，且ABAB∙ACAC=12， 则△ABC为等边三角形

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题（每题5分，共20分）
13已知复数z满足z(1＋i)＝|－1＋i|，则复数z的共轭复数为________．
14．若命题“x∈，1＋tanx>m”是假命题，则m的取值范围是________．
15．正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则∠EMF的余弦值________.
16． 已知六棱锥P-ABCDEF的底面ABCDEF是正六边形，顶点P与底面中心的连线垂直于底面，底面边长为4 cm，侧棱长为6 cm， 则六棱锥
P－ABCDEF的表面积________，体积________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)
已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．
(1)若c＝(3＋1，－3)，且c∥a，求的值；
(2)若b＝(1，m)(m＜0)，且a＋2b与a－2b垂直，求a与b的夹角θ．


18.(本小题满分12分)
△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2 b cosB＝c cosA＋a cosC．
(1)求B；
(2)若a＋c＝，b＝，求△ABC的面积．







19．(本小题满分12分)
如图，为了测量4A级景区泰湖湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，求A，B两点的距离。





20.(本小题满分12分)
已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)
(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1






21. (本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A≠，
且3sinAcosB＋bsin2A＝3sinC.
(1)求a的值；
(2)若A＝，求△ABC周长的取值范围．











22.(本小题满分12分)
如图，在扇形OPQ中，半径OP＝１，圆心角∠POQ＝，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC＝α，求当角α 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．





2020-2021学年度下学期八校联考高一数学期中试卷

本试卷分Ⅰ、Ⅱ卷，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．)
1. C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C 7． A 8. A
二、多选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分．)
9． BD 10． CD 11. ABD 12. ABCD
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题（每题5分，共20分）
13．1＋i 14．[1＋，＋∞)
15． 210 16. cm2， cm3．
注：16题第一空3分，第二空2分。不写单位不给分。
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)
已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．
(1)若c＝(3＋1，－3)，且c∥a，求的值；
(2)若b＝(1，m)(m＜0)，且a＋2b与a－2b垂直，求a与b的夹角θ．
[解]　 解：(1)因为c＝(3＋1，－3)，且c∥a，所以
(3＋1)×2－(－3)×1＝0， ………2分
解得＝－1； ………4分
(2)由题意，可知 ………6分
因为a＋2b与a－2b垂直，所以(a＋2b)·(a－2b)＝0， ………7分
即（2+2m）(2-2m)=3,m＜0解得m＝－，则b＝(1，－)， ………9分
所以a·b＝0，于是θ＝． ………10分
18.(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2 b cosB＝c cosA＋a cosC．
(1)求B； (2)若a＋c＝，b＝，求△ABC的面积．
解　(1)由正弦定理得
2sinBcosB＝sinCcosA＋sinAcosC， ………2分
即2sinBcosB＝sin(A＋C)， ………3分
又A＋C＝π－B，∴2sinBcosB＝sin(π－B)，
即2sinBcosB＝sinB. ………4分
而sinB≠0，∴cosB＝，由0 (2)∵cosB＝＝， ………7分
∴＝，又a＋c＝，b＝， ………9分
∴－2ac－2＝ac，即ac＝， ………10分
∴S△ABC＝acsinB＝××＝. ………12分
19．(本小题满分12分)
如图，为了测量4A级景区泰湖湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，求A，B两点的距离。

解析　根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ………1分
则AC＝DC＝2， ………3分
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，则＝， ………6分
变形得BC＝＝＝， ………8分
在△ABC中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，则AB＝3. ………12分
20.(本小题满分12分)
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1 解　(1)当x<0时，－x>0，由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)， ………2分
又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)． ………3分
∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)， ………4分
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝ ………5分
(2)∵－1 ①当a>1时，原不等式等价于，解得a>3； ………9分
②当0 综上，实数a的取值范围为∪(3，＋∞)． ………12分
21. (本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A≠，且3sinAcosB＋bsin2A＝3sinC。(1)求a的值；(2)若A＝，求△ABC周长的取值范围．
解　(1)由3sinAcosB＋bsin2A＝3sinC，得
3sinAcosB＋bsinAcosA＝3sinC， ………1分
由正弦定理，得3acosB＋abcosA＝3c， ………2分
由余弦定理，得3a·＋ab·＝3c， ………3分
整理得(b2＋c2－a2)(a－3)＝0， ………5分
因为A≠，所以b2＋c2－a2≠0，所以a＝3. ………6分
(另解：由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB代入条件变形即可)6分
(2)在△ABC中，A＝，a＝3，由余弦定理得，9＝b2＋c2＋bc， …7分
因为b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－＝(b＋c)2， ……9分
所以(b＋c)2≤9，即(b＋c)2≤12， ………10分
所以3 故△ABC周长的取值范围为. ………12分
(另解：结合正弦定理，边化角，三角变换也可以酌情给分。)12分

22.(本小题满分12分) 如图，在扇形OPQ中，半径OP＝１，圆心角∠POQ＝ ，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC＝α，求当角α 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

解：在Rt△OBC中，OB=cosα， BC=sinα . ……1分
在Rt△OAD中，DAOA=tan60°=3.
OA=33DA=33BC=33sinα， ………3分
AB=OB−OA=cosα−33sinα. ……4分
设矩形ABCD的面积为S，则
S=AB∙BC=cosα−33sinαsinα =sinαcosα−33sin2α
=12sin2α−361−cos2α=12sin2α+36cos2α−36
=1332sin2α+12cos2α−36 =13sin2α+π6−36 .
………8分
由0<α<π3 ，得π6<2α+π6<5π6 ， ………9分
所以当2α+π6=π2 ，即α=π6时，
S最大=13−36=36 .………11分
因此，当α=π6 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为36. .……12分