2022年江苏省泰州市中考数学试卷（含解析）

2022年江苏省泰州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是(    )

A. 三棱锥
B. 四棱锥
C. 四棱柱
D. 圆锥

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，一张圆桌共有个座位，甲、乙、丙人随机坐到这个座位上，则甲和乙相邻的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知点、、在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，正方形的边长为，为与点不重合的动点，以为一边作正方形设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

7. 若，则的值为______．
8. 正六边形的一个外角的度数为______
9. 年月日时分，我国自主研发的极目一号Ⅲ型科学考察浮空艇升高至海拔，将用科学记数法表示为______．
10. 方程有两个相等的实数根，则的值为______．
11. 学校要从王静、李玉两同学中选拔人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话、体育知识和旅游知识，并将成绩依次按：：记分．两人的各项选拔成绩如表所示，则最终胜出的同学是______．

12. 一次函数的图像经过点当时，的取值范围是______．
13. 如图，与相切于点，与相交于点，点在上，且与点、不重合．若，则的度数为______

14. 如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为______．

15. 已知，，，用“”表示、、的大小关系为______．
16. 如图，中，，，，为内心，过点的直线分别与、边相交于点、若，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共10小题，共102分）

17. 计算：；
    按要求填空：
    小王计算的过程如下：
    解：
    第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    第五步
    小王计算的第一步是______填“整式乘法”或“因式分解”，计算过程的第______步出现错误．直接写出正确的计算结果是______．
18. 农业、工业和服务业统称为“三产”，年泰州市“三产”总值增长率在全省排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题．
    
    年农业产值增长率的中位数是______；若年“三产”总值为亿元，则年服务业产值比年约增加______亿元结果保留整数．
    小亮观察折线统计图后认为：这年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．
19. 即将在泰州举办的江苏省第届运动会带动了我市的全民体育热．小明去某体育馆锻炼，该体育馆有、两个进馆通道和、、三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道与通道的概率．
20. 如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？

21. 如图，线段与分别为的中位线与中线．
    求证：与互相平分；
    当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由．

22. 小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行，小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？结果精确到，参考数据：，，

23. 如图，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，点以个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒．
    如图，当时，求半圆在矩形内的弧的长度；
    在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、连接、，若为直角，求此时的值．
     

24. 如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点．
    求这两个函数的表达式；
    当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；
    平行于轴的直线与函数的图像相交于点、点在点的左边，与函数的图像相交于点若与的面积相等，求点的坐标．

25. 已知：中，为边上的一点．
    如图，过点作交边于点若，，，求的长；
    在图中，用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；保留作图痕迹，不要求写作法
    如图，点在边上，连接、若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
     

26. 定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”．
    若，，试判断函数是否为函数、的“组合函数”，并说明理由；
    设函数与的图像相交于点．
    若，点在函数、的“组合函数”图像的上方，求的取值范围；
    若，函数、的“组合函数”图像经过点是否存在大小确定的值，对于不等于的任意实数，都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在，请求出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
估算确定出的大小范围即可．
此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据展开图可以得出是四棱锥的展开图，
故选：．
根据展开图直接判断即可．
本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的加减，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
甲、乙、丙人随机坐到这个座位上，则甲和乙相邻是必然事件，
甲和乙相邻的概率为，
故选：．
根据题意可知：甲和乙相邻是必然事件，从而可以得到相应的概率．
本题考查概率的应用、必然事件，解答本题的关键是明确甲和乙相邻是必然事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：，因为，所以随的增大而增大，所以，不符合题意；
B.，当和时，相等，即，故不符合题意；
C.，当时，随的增大而减小，时，随的增大而减小，所以，不符合题意；
D.，当时，随的增大而增大，时，随的增大而增大，所以，符合题意；
故选：．
根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断，，之间的关系，再判断即可．
本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项中的函数解析中，再判断的大小．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
点，，，在同一条线上时，最小，即最小，
连接，
最小值为，
在中，，
最小，
故选：．
连接，那么，，所以这三个的和就是，所以恒大于，故当四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
利用绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：正六边形的外角和是，
正六边形的一个外角的度数为：，
故答案为：．
根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于度解答即可．
本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于度是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
把表示成科学记数法即可．
此题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
由题可得，即可得的值．
本题考查一元二次方程根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；若一元二次方程有两个相等的实数根，则；若一元二次方程没有实数根，则．
 

11.【答案】李玉 

【解析】解：王静的成绩是：分，
李玉的成绩是：分，
，
最终胜出的同学是李玉．
故答案为：李玉．
根据不同的权计算每个人的得分即可作出比较．
本题考查了加权平均数的概念及求法，属于基础题，牢记加权平均数的计算公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将点代入，
得，
解得，
一次函数解析式为，
当时，．
故答案为：．
由待定系数法可求得一次函数的解析式，再结合图象即可得出答案．
本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，连接，

与相切于点，
，
，
，
，
点在上，且与点、不重合，
，
故答案为：．
连接交于点，连接，由切线的性质得出，由，求出，由圆周角定理即可求出．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：走两步后的落点与出发点间的最短距离为，
故答案为：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：令，，
则，，．
．

代数式的比较，常用的方法是作差法和作商法，在本题中都不适用．考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
本题考查不等式的性质，但是直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空题不需要过程，所以特殊值代入法也是最好的选择．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图，过点的直线分别与、边相交于点、，连接，，

为的内心，
平分，平分，
，，
当时，则，
，
，
，
，
则，
设，，
在中，，
，即，
解得，
，
过点作，作，

点为的内心，
，
在和中，
，
≌，
，
，
在和中，
，
∽，
，
，
解得：，
，
故答案为：或．
连接，，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当时，，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的内心，理解三角形内心的概念，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
 

17.【答案】因式分解  三  

【解析】解：原式

；
小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是．
故答案为：因式分解，三，．
原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；
观察解题的过程，分析第一步变形的依据，找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．
此题考查了二次根式的混合运算，因式分解运用公式法，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：年农业产值增长率从小到大排列为：，，，，，，中间的数为，
故年农业产值增长率的中位数是；
若年“三产”总值为亿元，则年服务业产值比年约增加：亿元；
故答案为：；；
不同意，理由如下：
由年泰州市“三产”产值分布的扇形统计图可知，在年，服务业产值占比，工业产值占比，
在年，服务业产值比工业产值低．
根据中位数的定义即可得到结论；用“三产”总值为亿元，分别乘以服务产业的占比和至增长率即可；
根据扇形统计图的作用可直接得出结论，意思对即可．
本题考查了折线统计图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键．
 

19.【答案】解：树状图如下所示，

由上可得，一共有种可能性，其中恰好经过通道与通道的可能性有种，
恰好经过通道与通道的概率为． 

【解析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图．
 

20.【答案】解：设路宽应为米
根据等量关系列方程得：，
解得：或，
不合题意，舍去，
所以，
答：道路的宽应为米． 

【解析】要求路宽，就要设路宽应为米，根据题意可知：矩形地面所修路面积草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

21.【答案】证明：点是的中点，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分；
解：当时，四边形为矩形，
理由：线段为的中位线，
，
，
，
由得：四边形是平行四边形，
四边形为矩形． 

【解析】根据线段中点的定义可得，根据三角形的中位线定理可得，，从而可得，进而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；
当时，四边形为矩形，再根据三角形的中位线定理可得，从而可得，然后利用的结论即可解答．
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理，三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的中位线定理，以及矩形的判定是解题的关键．
 

22.【答案】解：连接，过点作，

由题意得：
，，，，
，
，
，
在中，米，
能看到的水平地面上最远处到他的距离约为米． 

【解析】连接，过点作，根据题意可得，，，，从而利用平行线的性质求出，进而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设与交于点，

当时，，
，
，
，
，
在正方形中，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
即半圆在矩形内的弧的长度为；
连接，，

，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，，
即的值为或． 

【解析】通过判定为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
通过判定≌，然后利用全等三角形的性质分析求解．
本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定一线三垂直模型，结合勾股定理列方程是解题关键．
 

24.【答案】解：二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点，
，，
解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
由图象知，当随的增大而增大且时，；
由题意作图如下：

当时，，
，
，
的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，
，
即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
． 

【解析】用待定系数法求出解析式即可；
由图象直接得出结论即可；
根据点和点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出点的坐标即可．
本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图中，，
∽，
，
，
；

如图中，点即为所求．


结论：直线与以为半径作相切．
理由：作交的延长线于点，连接．

，，
四边形是等腰梯形，
，
，
，
，
直线与以为半径作相切． 

【解析】利用相似三角形的性质求解即可；
作交于点，作，射线交于点，点即为所求；
作交的延长线于点，连接证明四边形是等腰梯形，推出，由，推出，推出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：函数是函数、的“组合函数”，理由如下：
，
，
函数是函数、的“组合函数”；
由得，
，
、的“组合函数”为，
时，，
点在函数、的“组合函数”图象的上方，
，
，
，
，
，
；
存在时，对于不等于的任意实数，都有“组合函数”图象与轴交点的位置不变，，理由如下：
由知，，
函数、的“组合函数”图象经过点，
，
，
，
，有，
，
令得，
变形整理得：，
当，即时，，
，
时，“组合函数”图象与轴交点的位置不变，． 

【解析】由，可知函数是函数、的“组合函数”；
由得，当时，，根据点在函数、的“组合函数”图象的上方，有，而，可得；
由函数、的“组合函数”图象经过点，知，即，而，即得，可得，令得，即，即可得时，“组合函数”图象与轴交点的位置不变，．
本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．