陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考理科数学试题-

绝密★启用前

陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考理科数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已集合，集合，，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

2．复数的共轭复数为（       ）

A． B． C． D．

3．已知数列为等差数列，，，则数列的前100项和（       ）

A．9100 B．9300 C．9500 D．10300

4．设的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是（       ）

A．等边三角形

B．C为直角的直角三角形

C．C为顶角的等腰三角形

D．A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形

5．已知函数是偶函数，的图象关于直线l对称，则直线l的方程为（       ）

A． B． C． D．

6．甲、乙两人约定某日上午在地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（       ）.

A． B． C． D．

7．执行图示程序框图，则输出的的值为（       ）

A．36 B．54 C．90 D．162

8．已知某几何体的三视图如图所示，三个视图的外轮廓为矩形和正方形，则该几何体的侧面面积最大的面的面积为（       ）

A．9 B． C． D．

9．已知不等式对恒成立，则m的最小值为（       ）

A． B． C． D．

10．在直角坐标系xOy中的三点，，，若向量与在向量方向上的投影相等，则m与n的关系为（       ）

A． B．

C． D．

11．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，虚轴的一个端点为B，若，则双曲线C的离心率（       ）

A． B． C． D．

12．已知函数，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．设变量y与x的回归模型A、模型B、模型C相应的相关系数r的值分别为0.28、0.35、0.3，则拟合效果最好的是模型______.

14．已知是的展开式中的某一项，则实数的值为______.

15．已知等比数列的前项和，令，则数列的通项公式为______.

16．已知命题p：不等式组命题q：，若p是q的充分条件，则r的取值范围为______.

17．如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，.

(1)若，求的值；

(2)若，求BE的长.

18．2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为、、，已知这三种商品都能抢购成功的概率为，至少一种商品能抢购成功的概率为.

(1)①求、的值；

②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.

(2)求张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列和数学期望.

19．如图（1），在正方形中，、、分别为、、的中点，点在对角线上，且，将、、分别沿、、折起，使、、三点重合（记为），得四面体（如图（2）），在图（2）中.

(1)求证：平面；

(2)在上，求一点，使二面角的大小为.

20．已知抛物线C：的焦点为，准线与坐标轴的交点为，、是离心率为的椭圆S的焦点.

(1)求椭圆S的标准方程；

(2)设过原点O的两条直线和，，与椭圆S交于A、B两点，与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.

21．已知函数（，且）

(1)求函数的单调区间；

(2)若对、，使恒成立，求的取值范围.

22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为.

(1)①求直线l的普通方程；

②当曲线S过极坐标系中的点时，求曲线S的直角坐标方程.

(2)若直线l与曲线S交于A、B两点，定点，且.求m的值.

23．已知函数.

(1)求的定义域；

(2)设，，是中的最小整数，求证：.

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据交集的结果列式可得结果.

【详解】

因为集合，集合，，

所以.

故选：B.

2．A

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算和共轭复数的概念可求出结果.

【详解】

,

所以复数的共轭复数为.

故选：A.

3．C

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式列式求出首项和公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果.

【详解】

设公差为，

则，解得，，

所以.

故选：C

4．D

【解析】

【分析】

将式子去分母整理即可得到，即可判断；

【详解】

解：，

，

即，

合并得：，

，

，

，

，

，

或，

所以为以为顶角的等腰三角形或为顶角的等腰三角形；

故选：D．

5．A

【解析】

【分析】

根据偶函数的图象的对称轴以及图象的平移变换可得结果.

【详解】

因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，

向左平移两个单位可得的图象关于直线对称.

故选：A

6．B

【解析】

【分析】

从早上7点开始计时，设甲经过十分钟到达，乙经过十分钟到达，可得、满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形，而甲乙能够见面，、满足的平面区域是图中的四边形．分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得．

【详解】

解：从早上7点开始计时，设甲经过十分钟到达，乙经过十分钟到达，

则、满足，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形，

若甲乙能够见面，则、满足，

该不等式对应的平面区域是图中的四边形，

，

因此，甲乙能见面的概率

故选：B．

7．B

【解析】

【分析】

根据程序框图进行运行可求出结果.

【详解】

是否否否否

是.

故选：B.

8．D

【解析】

【分析】

根据三视图得到直观图，结合三视图中的数据进行计算可得答案.

【详解】

根据三视图可知，该几何体是由四棱锥和四棱锥组合而成的几何体，将该几何体放在长、宽、高分别为的长方体中，如图：

因为，，所以，，在中，边上的高，

所以，，

，

，

所以该几何体的侧面面积最大的面的面积为.

故选：D.

9．D

【解析】

【分析】

将问题转化为不等式对恒成立，令求解.

【详解】

解：因为不等式对恒成立，

所以不等式对恒成立，

令，

因为，所以，

则，

所以，

所以，解得，

所以m的最小值为，

故选：D

10．A

【解析】

【分析】

根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果.

【详解】

,,,

向量在向量方向上的投影为，

向量在向量方向上的投影为，

由题意可得，即.

故选：A.

11．C

【解析】

【分析】

根据双曲线的几何性质可求出结果.

【详解】

依题意可得，，

在直角中，有，得，得，

所以，所以，所以.

故选：C.

12．D

【解析】

【分析】

先判断出原函数的单调性，进而解出不等式即可.

【详解】

由题意，，易知函数在R上单调递减（减+减），而，所以.

故选：D.

13．B

【解析】

【分析】

根据相关系数的绝对值越接近于，则回归模型的拟合效果越好，可得答案.

【详解】

因为相关系数的绝对值越接近于，则回归模型的拟合效果越好，

又因为，所以拟合效果最好的是模型B.

故答案为：B.

14．

【解析】

【分析】

根据展开式中项的系数为960求解即可.

【详解】

解：因为＝ ，

 令，得，

所以，即，解得.

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

由可分别求得，根据等比数列定义可知，由此可得，从而确定；利用等比数列通项公式求得后，代入整理可得.

【详解】

，，，

又为等比数列，，即，解得：，

，公比，，

.

故答案为：.

16．

【解析】

【分析】

画出命题p所表示的点的集合，根据q的几何意义及充分条件得到圆要把阴影部分包含在内，求出圆过点时，为r的最小值，此时，从而得到答案.

【详解】

如图，阴影部分为命题p表示的点的集合，命题q为以原点为圆心的圆的内部，

要想p是q的充分条件，则圆要把阴影部分包含在内，

故当圆过点时，为r的最小值，此时，

所以r的取值范围为.

故答案为：

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）作出辅助线，得到，利用正弦的诱导公式进行求解；（2）由余弦定理得到和，利用互补的两个角余弦值和为0，列出方程，求出答案.

(1)

过B作于F.

∵，，

∴，在直角中，，

∴，

∴.

(2)

连接BD.在中，，，，由余弦定理，得

在中，，，由余弦定理，得.

在中，，，由余弦定理，得.

∵，得

∴，得，（负值舍去）.

∴.

18．(1)①；②

(2)分布列见解析，数学期望为元

【解析】

【分析】

（1）①根据题目条件列出方程组，求出，②设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式计算出概率；（2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出数学期望.

(1)

①由题意得

即

解得：

②设“张某恰好抢购到两种商品”为事件.则抢购到大屏幕电视机和冰箱且没有抢购到洗衣机，或抢购到冰箱和洗衣机且没有抢购到大屏幕电视机，或抢购到大屏幕电视机和洗衣机且没有抢购到冰箱.

∴.

即张某抢购成功两种商品的概率为

(2)

的可能取值为0，300，500，800，1100，1300，1600

，

，

，

，

，

，

∴张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列为

张某抢购成功获得的优惠总金额的数学期望为

（元）

19．(1)证明见解析；

(2)点在上靠近的三等分点处.

【解析】

【分析】

（1）先证明为的中点，进而结合条件证明，然后通过线面平行的判定定理证明问题；

（2）建立空间直角坐标系，然后设，进而通过空间向量的夹角公式求得答案.

(1)

在图（1）中，连接，设，S为的中点，连接、，，，而分别是的中点，则，，于是，

又，则为的中点，也为的中点.

在图（2）中，的中点为，连接，又为的中点，∴

∵不在平面内，在平面内，∴平面.

(2)

由题意知，在图（2）中，直线、、两两互相垂直，且相交于一点.

∴以为原点，分别以直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

设正方形的边长为，则，，，，，，，

设，

∴，

设平面的一个法向量为，则得，得，取，得，∴，

又知平面的一个法向量为，∴，即，即，

解得.

∴所求的点在上靠近的三等分点处.

20．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用抛物线的焦点坐标以及椭圆的离心率可求出椭圆方程；

（2）先根据椭圆的对称性以及平面几何知识证明原点O到直线AM和到直线BN的距离相等，然后设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数关系和点到直线距离公式可求出结果.

(1)

化抛物线C：的方程为标准方程，即C：.得抛物线C的焦点，

设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c.则由题意得，，得.

∴，又椭圆S的焦点在y轴上.

∴椭圆S的标准方程为.

(2)

证明：由题意知A、O、B共线，M、O、N共线，且，又由椭圆的对称性，知，.

∴四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM、BN为一组对边.

∴原点O到直线AM和到直线BN的距离相等

下面求原点O到直线AM的距离.

根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限.

当直线AM的斜率为零或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为和，且轴或轴.

设，则或.

于是，有，得.

原点O到直线AM的距离为.

当直线AM的斜率存在且不等于零时，设AM：.

由，消去并整理得，

且.

设，，则，，

∴

.

由，得，即，

得，满足.

∴原点O到直线AM的距离为.

∴原点O到直线BN的距离也为.

综上所述，原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.

21．(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出的导函数并变形为，然后分，分别对和分别讨论分析可得出其单调区间.

（2）由题意可得对，恒成成立，由由（1）得出的单调区间，得，比较得出和中的较大者，从而可得出答案.

(1)

的定义域为,（，且）

显见，.

①当时，，.

若，则，，得.

于是，.

若，则，，得，

于是，

∴当时，, 即在上单调递增

②当时，，

若，则，，得.

于是，

若，则，，得，

于是，

∴当时，.即在上单调递减

综上得，的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

对、，使恒成立，

即对，成立.

由（1）知在上单调递减，在上单调递增，得

为和中的较大者.

，，

设，（仅当时取等号）.

∴在上单调递增，在上也单调递增.

注意到

∴当时，，；

当时，

①当时，

即，得

②当时，

即（*）

设，

在上单调递增.

∴当时，.不等式（*）无解

综上所述，对、，使恒成立时，的取值范围为

【点睛】

关键点睛：本题考查求解函数含参数的单调性求解与利用导数解决恒成立求参数问题，解答本题的关键是将问题转化为对，恒成立，由（1）得的单调性，从而得出，然后比较和的大小，属于难题.

22．(1)①；②

(2)

【解析】

【分析】

(1)①两式相加消去参数t即可；②将点代入，求出，再化成直角坐标方程；

(2) 将曲线S的极坐标方程为化为直角坐标方程,再将直线的参数方程化成标准形式，联立可得，求解即可.

(1)

解：①两式相加消去参数t，得直线l的普通方程为

②将，代入，得，

∴，得

∴曲线S的极坐标方程为，将，代入，

得曲线S的直角坐标方程为.

(2)

将曲线S的极坐标方程为化为直角坐标方程为.

将直线l的参数方程（t为参数）

转化成标准形式为

将此式代入

整理得

由.

解得或

设A、B在直线l上对应的参数分别是、，则，

由，

∵

∴，

整理得（*）

当时由（*）得或（不满足舍去）

当时由（*）得（舍去）

故.

23．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）将求解的定义域转化为已知值域求定义域的问题，然后分段去掉绝对值，解出的取值范围即可；

（2）利用“1”的代换法证明即可.

(1)

设.的定义域即不等式的解集.

∵

等价于①或②或③

∴不等式的解集为，即函数的定义域为

(2)

证明：∵，，a是M中的最小整数.

∴，

∴

当且仅当，即，时等号成立.

∴（当且仅当，时取等号）