2022-2023年高考数学压轴题专项练习 专题10 解密解析几何中乘积或比值问题（试题+解析版）

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一、填空题1．在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，点是正方形所在平面内的一个动点，且，则线段的长度的最大值为___.  二、解答题2．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值． 3．已知椭圆经过点,离心率为,左、右焦点分别为．(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于A,B两点,与以为直径的圆交于C,D两点,求的值． 4．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上第一象限内的点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，若，求实数的值.  5．已知分别为椭圆的右焦点、右顶点，，点为坐标原点，射线与的交点为，且.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点（在的上方）.在轴上的射线分别为，且，当取得最大值时，求.   6．已知椭圆，其焦距为2，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，为轴上一点，满足，过点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，求面积的最大值. 7．已知点F为椭圆E： (a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．  8．已知动点E到点A与点B的直线斜率之积为，点E的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）过点D作直线l与曲线C交于，两点，求的最大值．  9．设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点，求证：为定值.  10．已知椭圆，点（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.  11．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，椭圆的离心率，且过抛物线的焦点.（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，，求证：为定值.  12．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为,离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程. 13．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.（Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.14．已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点．⑴求椭圆的标准方程；⑵当直线的斜率为时，求的面积；⑶试比较与大小．  15．已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线与椭圆交于两点，交轴于点，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．  16．已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.