山东省济南市第一中学2021-2022学年高二下学期第四次学情检测数学试题

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山东省济南市第一中学2021-2022学年高二下学期第四次学情检测数学试题
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．已知，且，则实数a的值为(      )
A． B． C． D．
2．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（       ）
A．18种 B．36种 C．68种 D．84种
3．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（       ）
A． B． C． D．
4．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.（参考数据：）（　　）
A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.5
5．甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（       ）
A． B． C． D．
6．近年餐饮浪费现象严重，触目惊心，令人痛心！“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展一次问卷调查，目的是了解师生对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的人的得分数据．据统计此次问卷调查的得分（满分：分）服从正态分布，已知，，则下列结论正确的是（       ）
A． B． C． D．
7．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊破了全球观众，衡阳市某中学力了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（       ）
A．192 B．240 C．120 D．288
8．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（       ）
A． B． C． D．
评卷人
得分



二、多选题
9．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（       ）
A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项
10．某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：
第x年
1
2
3
4
5
利润y/亿元
2
3
4
5
7

已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（       ）A．
B．变量y与x之间的线性相关系数
C．预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元
D．该人工智能公司这5年的利润的方差小于2
11．以下关于概率与统计的说法中，正确的为（       ）
A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本.已知该校高一､高二､高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生
B．10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．设某学校女生体重(单位：)与身高(单位：)具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，若该学校某女生身高为，则可断定其体重必为
12．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（       ）
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



三、填空题
13．的展开式中的系数为___________.（用数字作答）
14．某地区教研部门开展高三教师座谈会，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，已知某校共有8名教师参加座谈会，记X为该校教师中被抽到发言的人数，若，且，则_____.
15．曲线在点处的切线方程为__________．
16．从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n种方法，则的展开式中的常数项为___________.（用数字作答）
评卷人
得分



四、解答题
17．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品．根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%．为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布．假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立．记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量．
（1）求的概率；
（2）求的数学期望；
（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于或等于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量，则，，，
19．2020年“双11”当天各大线上网站的消费额统计都创下新高，体现了中国在“新冠”疫情之后经济复苏的良好态势.某网站为了调查线上购物时“高消费用户”是否与性别有一定关系，随机调查200个“双11”当天在该网站消费的用户，得到了如下不完整的列联表;定义“双11”当天消费不高于10000元的用户为“非高消费用户”，消费10000元以上的用户为“高消费用户”.

高消费用户
非高消费用户
总计
男性用户
20


女性用户

40

总计
80



附：，

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

(1)将列联表填充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为线上购物时“高消费用户”与性别有关？
(2)若采用分层抽样的方法从随机调查的200个用户中抽出10个人，再随机抽4人，记高消费用户人数为X，求X的分布列和数学期望.
20．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示.


















（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；
（2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？
参考数据：其中，.











参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
21．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流每年最高水位X（单位：m）的频率分布表如表1所示：
表1
最高水位X/m





频率
0.15
0.44
0.36
0.04
0.01

将河流每年最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立.
(1)求在未来3年中，至多有1年河流最高水位的概率；
(2)该河流对沿河一蔬菜种植户的影响如下：当时，因河流水位较低，影响蔬菜正常灌溉，导致蔬菜干旱，造成损失；当时，因河流水位过高，导致蔬菜内涝，造成损失.每年的蔬菜种植成本为60000元，以下三个应对方案中应该选择哪一个，使蔬菜种植户所获利润更高？
方案一：不采取措施，蔬菜年销售收入情况如表2所示：
表2
最高水位X/m



蔬菜年销售收入/元
40000
120000
0

方案二：只建设引水灌溉设施，每年需要建设费5000元，蔬菜年销售收入情况如表3所示：
表3
最高水位X/m



蔬菜年销售收入/元
70000
120000
0

方案三：建设灌溉和排涝配套设施，每年需要建设费7000元，蔬菜年销售收入情况如表4所示：
表4
最高水位X/m



蔬菜年销售收入/元
70000
120000
70000

附：蔬菜种植户所获利润＝蔬菜销售收入－蔬菜种植成本－建设费.
22．已知函数f(x)＝x+alnx+1．
（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．

参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
求f(x)的导数，令x＝－1即可求出a．
【详解】
∵，
∴，
，
，
．
故选：D．
2．B
【解析】
【分析】
由题意：2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案.
【详解】
根据题意，分派方案可分为两种情况:
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.
②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.
故一共有：36种分配方法.
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
根据二项式系数的单调性，求得；再结合二项式展开式的通项公式，即可求得指定项的系数.
【详解】
解：因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以，
所以的展开式的通项
令，得.
所以展开式中的系数为.
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
计算混合检测方式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数，知，利用求解可得p的范围，即可得出选项.
【详解】
设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y可能取值为1，11.
，，
故Y的分布列为：
Y
1
11
P




设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X，则
要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需
即，即，即
又，
，
，.
故选：A.
5．B
【解析】
【分析】
根据全概率公式进行求解即可.
【详解】
设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，
则有：，
所以，
故选：B
6．A
【解析】
【分析】
计算出，可得出，即可得出结论.
【详解】
因为，则，
因此，.
故选：A.
7．A
【解析】
【分析】
先用捆绑法得到，只有“立春”和“惊蛰”相邻的情况，再减去“清明”和“惊蛰”相邻的情况即可.
【详解】
由题，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到,
当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起即，
所以最终满足题意的排法为240-48=192.
故选：A
8．D
【解析】
【分析】
利用古典概型分别求出，，根据条件概率公式可求得结果.
【详解】
若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，
则，
，
∴.
故选：D.
9．BD
【解析】
【分析】
根据展开式的通向公式以及二项式系数的的性质求解判断.
【详解】
因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误，
令，得所有项的系数和为，故B正确，
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误，
因为展开式通项为，
当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．
故选：BD．
10．AC
【解析】
【分析】
首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，再令求出，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断D；
【详解】
解：依题意，，
因为回归直线方程为必过样本中心点，即，解得，
故A正确；则回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误，
当时，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确，
该人工智能公司这5年的利润的方差为，故D错误；
故选：AC
11．AB
【解析】
【分析】
A：利用分层抽样求解判断；B：利用古典概型的概率求解判断；C：由求解判断；D：根据回归的意义判断.
【详解】
A：应从高二年级中抽取学生人数为，故正确.
B：恰好取到1件次品的概率，故正确.
C：因为，所以.故错误.
D：不能断定其体重必为.故错误.
故选：AB
12．BCD
【解析】
【分析】
采用排列组合公式对各选项进行计算判断即可
【详解】
对A，如果甲，乙必须相邻，则可将甲乙先捆绑，考虑左右位置，共有2种情况，再将4个位置全排列，共有种排法，故A错误；
对B，分两种情况，①甲站中间时，共有种排法；②甲不站中间，先排甲，有3种情况，中间位置3选1，有3种情况，剩下3人全排列，有种情况，则共有种情况，甲不站在排头，乙不站在正中间，不同的排法共有种情况；
对C，甲乙不相邻且乙在甲的右边，按中间人数多少分类，当中间有1人时，有种；当中间有两人时，有种；当中间有3人时，有种排法，则共有36种排法；
对D，五人站好后，有6个空，剩下两人再逐一插空，共有种情况；
故答案为：BCD
13．-162
【解析】
【分析】
利用二项式展开式的通项公式求解的通项公式，进而求出答案.
【详解】
4属开式的通项公式为.当时，x4的展开式中的系数为；当时的展开式中的系数为，故—的展开式中的系数为-162.
故答案为：-162
14．
【解析】
【分析】
根据题意得到随机变量，结合二项分布的期望与方差的计算公式，求得，进而求得的值.
【详解】
由题意，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，
所以随机变量，
因为，可得，解得或，
又因为，可得，所以，
所以.
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
16．
【解析】
【分析】
先由题意求出，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为零，求出的值，从而可求出展开式中的常数项
【详解】
因为从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n种方法，
所以，
所以二项式展开式的通项公式为
，
令，得，
所以二项式展开式的常数项为，
故答案为：
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）转化为求展开式各项系数和（2）利用赋值法求展开式偶次项的系数数和
(1)
即展开式各项系数和，
在展开式中, 令,可得

(2)
设,
则



18．（1）；（2）；（3）这种监控生产过程的方法合理．
【解析】
【分析】
（1）求出，然后求解时的概率．
（2）判断，求解期望即可．
（3）求解一天内抽取的10只口罩中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件．然后说明结论．
【详解】
解：（1）抽取口罩中过滤率在内的概率，
所以，
所以，
故．
（2）由题意可知，所以．
（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一天内抽取的10只口罩中，
出现过滤率小于或等于的概率，
发生的概率非常小，所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修．可见这种监控生产过程的方法合理．
19．(1)列联表见解析，有
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）补全列联表，计算，即可得到答案.
（2）首先根据分层抽样得到高消费用户抽取人，非高消费用户抽取人，从而得到，分别计算其概率，从而得到分布列，再求数学期望即可.
(1)
解：

高消费用户
非高消费用户
总计
男性用户
20
80
100
女性用户
60
40
100
总计
80
120
200

.
所以有99%的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关.
(2)
解：抽样比，
高消费用户抽取人，非高消费用户抽取人，
，
，，
，，
，
分布列：













.
20．（1）适宜，；（2）年.
【解析】
【分析】
（1）根据散点图判断，适宜；由两边同时取对数得，设，则，根据参考数据以及参考公式首先求出的回归直线方程进而求出结果；
（2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.
【详解】
（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型.
由，两边同时取常用对数得.
设，则.
因为，，，，
所以.
把代入，得，
所以，所以，
则，
故关于的回归方程为.
（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，
每年的收益为（千元），
总投资千元，
假设需要年开始盈利，则，即，
故需要年才能开始盈利.
21．(1)0.104
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）结合表格数据可得，记河流最高水位发生的年数为，有，记在未来3年中，至多有1年河流最高水位为事件，则，即得解；
（2）针对不同的方案，根据题意列出分布列，计算数学期望即可，采取方案三利润的均值最大，由此即可得到结果．
(1)
解：由频率分布表，得
，
设在未来3年中，河流最高水位发生的年数为.
因为每年河流最高水位相互独立，所以.
记在未来3年中，至多有1年河流最高水位为事件，则
.
所以在未来三年中，至多有1年河流最高水位的概率为0.104.
(2)
解：由题设得，，.
答案一     选方案一.
用表示蔬菜年销售收入，则的分布列为

40000
120000
0

0.15
0.8
0.05

所以.
设蔬菜种植户每年所获利润为，则，所以.
答案二     选方案二.
用表示蔬菜年销售收入，则的分布列为

70000
120000
0

0.15
0.8
0.05

所以.
设蔬菜种植户每年所获利润为，则，所以.
答案三     选方案三.
用表示蔬菜年销售收入，则的分布列为

70000
120000
70000

0.15
0.8
0.05

所以.
设蔬菜种植户每年所获利润为，则，
所以.
所以，
所以采取方案三利润的均值最大，故方案三较好．
22．（1）单调递增区间为，单调递减区间为，f(x)有极小值为，无极大值；（2）a＝－1．
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，通过当，a＜0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的极值即可.
（2）求出导函数，求解极值点，通过①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，推出的值；②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，类似①求解判断即可；③若－e 【详解】
解：（1）函数f(x)的定义域为
当时，＞0恒成立，f(x)在上单调递增，无极值；
当a＜0时，令＞0，解得x＞－a，令＜0，解得x＜－a，
所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，
此时f(x)有极小值，无极大值；
（2），x∈[1，e]，由＝0得x＝－a，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f（1）＝－a+1，即2＝－a+1，则a＝－1，符合条件．
②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝－a+1，即e＋a＋1＝－a+1，则a＝，不符合条件．
③若－e 当1 当－a0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝﹣a+1，即－a+aln(－a)＋1＝﹣a+1，
则a＝0或a＝－1，均不符合条件．
综上所述，a＝－1．