2022年初升高物理衔接讲义 13 力的分解（教师版+学生版）

专题13 力的分解

力的分解

(1)力的分解的概念：求一个已知力的分力叫做力的分解。

(2)力的分解是力的合成的逆运算。同样遵守力的平行四边形定则：如果把已知力F作为平行四边形的对角线，那么，与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2。           

(3)力的分解的特点是：同一个力，若没有其他限制，可以分解为无数对大小、方向不同的力(因为对于同一条对角线．可以作出无数个不同的平行四边形)，通常根据力的作用效果分解力才有实际意义。

 (4)按力的效果分解力F的一般方法步骤：

①根据物体(或结点)所处的状态分析力的作用效果

②根据力的作用效果，确定两个实际分力的方向；

③根据两个分力的方向画出平行四边形；

④根据平行四边形定则，利用学过的几何知识求两个分力的大小。也可根据数学知识用计算法。

分解图例：

(5) 一个力有确定的两个分力的条件：两个分力的方向一定(两个分力不在同一直线上)；一个分力的大小、方向一定(两个分力一定要互成一定角度，即两个分力不能共线).

[注意]：①已知两个分力的大小，没能唯一解(立体).

②已知合力F和分力F1的大小及F2的方向，设F2与F的交角为，则当F1＜Fsin时无解；当F1=Fsin时有一组解；当Fsin＜F1＜F时有二组解；当F1≥F时有一组解.

(6)合力与分力的关系

1．合力一定大于分力吗？

2．不同物体所受的力可以合成吗？(只有同一物体所受的力才能合成)

3．力的合成是唯一的吗？(力的合成是惟一的)．

4．不同性质的力可以合成吗?(可以，因为合力与分力是作用效果上的一种等效替代)

5．F1、F2 的夹角变化时，F 的大小和方向如何变化？

1.力的分解方法

力的分解是力的合成的逆运算，同样遵从平行四边形定则.力的分解是已知合力求分力，其方法是以表示合力的线段为对角线作出平行四边形，求其邻边.理论上根据一条对角线可以作出无数个平行四边形，可以求得无数组邻边，即一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力.但我们在分解一个力时，并不是不加限制地随意分解的，而是要根据力的实际效果和实际需要分解，同一个力在不同条件下产生的效果不同，把一个力依据其效果分解的基本方法是：

(1)先根据力的实际效果确定两个分力的方向；

(2)再根据两个分力的方向作出力的平行四边形；

(3)解三角形，计算出分力的大小和方向，三角形的边长代表力的大小，夹角表示力的方向.

如图所示，一个球放在光滑的斜面上，有一竖直挡板将其挡住而静止，这种情况下重力将怎样分解？有些同学未加认真分析便将重力分解为垂直斜面向下和平行斜面向下的两个分力，即F1=Gcos θ和F2=Gsin θ，这是一种常见的错误.

正确的分解应是怎样呢？首先应分析重力在这种情况下的效果，此时重物放在斜面上产生了一个是垂直压斜面的效果，而另一个是垂直压挡板的效果，

因此，重力应分解成上述两个方向的分力.根据平行四边形定则作图如图所示，

则有：垂直斜面的分力为F1=，而垂直挡板的分力F2=Gtan θ.

3.正交分解法

把力沿两个互相垂直的方向进行分解的方法叫做力的正交分解法.正交分解是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是用代数运算来解决矢量运算.利用正交分解法解题的步骤如下：

(1)正确选定直角坐标系.通常以共点力的作用点为坐标原点.选取坐标轴应使尽可能多的力与坐标轴重合.

(2)正交分解各力.将每一个不在坐标轴上的力分解到x坐标轴

和y坐标轴上，并求出各分力的大小，如图所示.

(3)分别求出x轴和y轴上各力的分力的合力即

Fx=F1x+F2x+……

Fy=F1y+F2y+……

(4)求Fx与Fy的合力即为共点力的合力.合力的大小：F=，合力的方向由F与x轴间的夹角α确定，即α=arctan

正交分解法在求解不在一条直线上的多个力的合力时，显示出了较大的优越性.这类问题若用平行四边形定则直接求解，不管采用作图法还是计算法，都必须两两合成，一次接一次地求部分合力的大小和方向，十分麻烦.所以，我们要深刻理解正交分解法的思想，并会熟练应用它来解决问题.

　1．理解力的分解和分力的概念。

　2．理解力的分解是力的合成的逆运算，会用作图法求分力，会用直角三角形的知识计算分力。

一、按力的作用效果分解

【例题1】如图所示，两个完全相同的小球在挡板作用下静止在倾角为θ的光滑斜面上，下列关于小球受力的说法，正确的是(　　)

A． 小球的重力在乙种情况下不产生对斜面的作用效果

B． 小球均受重力、压紧斜面的力、压紧挡板的力和斜面弹力、挡板弹力

C． 小球受到挡板的作用力的大小、方向均相同

D． 撤去挡板，小球所受合力方向将沿斜面向下

【答案】D

【解析】斜面上静止的小球均受重力、斜面弹力和挡板弹力而处于静止状态．根据小球处于静止状态的受力特点，知甲、乙两球受挡板作用力的方向分别为水平向右和沿斜面向上，重力按实际作用效果可分解为使小球压紧斜面的力和使小球压紧挡板的力．撤去挡板后，小球受力的大小、方向也随之发生变化，甲、乙两种情况下小球所受的合力大小均为mgsinθ，方向沿斜面向下，故D选项正确．

【变式1】如图所示，轻杆与柱子之间用铰链连接，杆的末端吊着一个重为30N的物体，轻绳与水平轻杆之间的夹角为θ＝30°，求轻绳和轻杆各受多大的力？

答案　60N　52N

解析　重物对O点的拉力F＝G，产生两个作用效果：一个是沿绳方向拉轻绳，一个是沿杆方向压杆(因轻杆处于静止时杆所受的弹力一定沿着杆，否则会引起杆的转动)，作平行四边形如图所示，由几何关系解得

F1＝＝60N

F2＝≈52N

【变式2】在图中，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如果把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为(　　)

A.G，G　　　　　　 B.G，G

C.G，G D.G，G

答案　A

解析　对球所受重力进行分解如图所示，由几何关系得F1＝Gsin60°＝G，F2＝Gsin30°＝G，A正确．

【变式3】人们不可能用双手掰开一段木桩，然而，若用斧子就容易把树桩劈开．如图所示，斧子的两个斧面间的夹角为θ，两个斧面关于竖直平面对称，当斧子对木桩施加一个竖直向下的力F时，木桩的两个劈开面受到的侧向压力FN等于(　　)

A．FN＝

B．FN＝

C．FN＝

D．FN＝

【答案】C

【解析】将力F分解为F1、F2两个分力，这两个分力分别与斧子的两个侧面垂直，根据对称性，两分力F1、F2大小相等，这样，以F1、F2为邻边的平行四边形就是一个菱形．因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以有：F1＝F2＝，木桩的两个劈开面受到的侧向压力FN等于.

二、有限制条件的力的分解

【例题2】按下列两种情况把一个竖直向下的180N的力分解为两个分力．

(1)一个分力在水平方向上，并等于240N，求另一个分力的大小和方向．

(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图所示)，求两个分力的大小．

解析　(1)力的分解如图所示．

F2＝＝300N

设F2与F的夹角为θ，则

tan θ＝＝，解得θ＝53°

(2)力的分解如图所示．

F1＝Ftan30°＝180×N＝60N

F2＝＝N＝120N

答案　(1)300N　与竖直方向夹角为53°　(2)水平方向分力的大小为60N，斜向下的分力的大小为120N

【变式】甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1000N的力拉绳子，方向如图所示，要使船沿OO′方向航行，乙的拉力最小值为(　　)

A．500  N   B．500 N

C．1 000 N   D．400 N

答案　B

解析　要使船沿OO′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO′方向．如图所示，作平行四边形可知，当乙拉船的力的方向垂直于OO′时，乙的拉力F乙最小，其最小值为F乙min＝F甲sin30°＝1000×N＝500N，故B正确．

三、力的正交分解法

【例题】①如图(a)，提箱子的力F产生两个效果：竖直向上的效果F1，水平向左压在腿上的效果F2，若F与水平夹角为θ．则F1＝________，F2＝________．

②如图(b)，斜面上的小孩的重力产生两个效果：平行于斜面使物体下滑的分力G1、垂直于斜面使物体紧压斜面的力G2．G1＝________，G2＝________．

③如图(c)，一人通过箱带拉着一个旅行箱前进，拉力是12N，箱带与水平面夹角是30°，该拉力的水平分力的大小为________N，竖直分力的大小为________N．

【答案】①F1＝　F2＝②G1＝Gsin θ　G2＝G·cosθ  ③ 　3

【变式】如下图所示，三个共点力F1＝5N，F2＝10N，F3＝15N，θ＝60°，它们的合力沿x轴分量Fx为______N，y轴分量Fy为______N，合力的大小为________N，合力方向跟x轴正方向夹角为________．

【答案】15　　　30°

【例题】在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

【答案】38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上

【解析】本题若直接运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，需多次确定各个力的合力的大小和方向，计算过程十分复杂．为此，可采用力的正交分解法求解此题．

如图甲，建立直角坐标系，

把各个力分解到这两个坐标轴上，

并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有

Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，

Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.

因此，如图乙所示，合力：

F＝≈38.2 N，tanφ＝＝1.

即合力的大小约为38.2 N，

方向与F1夹角为45°斜向右上．

【变式】如图所示，三个力作用于同一点O点，大小分别为F1＝10 N，F2＝20 N，F3＝30 N，且F1与F3夹角为120°，F2与F3夹角为150°，求三个力的合力．

【答案】7.8 N　方向偏左与F3成12°角

【解析】以O点为原点，F3为y轴负方向建立直角坐标系，如图甲所示，则F1与x轴夹角为30°，F2与x轴的夹角为60°.

分别把各个力分解到两个坐标轴上．

F1x＝F1cos 30°，F1y＝F1sin 30°；

F2x＝F2cos 60°，F2y＝F2sin 60°；

F3x＝0，F3y＝－F3.

分别求出x轴和y轴上的合力．

Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝5N－10  N≈－1.34 N.

Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝10N－25  N≈－7.68 N.

计算x轴和y轴上的合力Fx、Fy的合力的大小和方向、即三个力的合力的大小和方向，如图乙所示．

合力的大小为F合＝≈7.8  N.

合力与F3的夹角θ满足tanθ＝≈0.174.查表得合力方向为F3向左偏12°.

一、单选题

1．一个的力可以分解为下面哪两个力？(　　)

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】D

【解析】合力与分力满足的是平行四边形定则，平行四边形的对角线表示的是合力的大小和方向。两个分力之差应小于10N，两个分力之和应大于10N；特殊情况下，如果两个分力的方向相同，则两个分力之和等于10N，如果两个分力的方向相反，两个分力之差等于10N，故ABC错误，D正确。

故选D。

2．如图所示，AB、AC两光滑斜面互相垂直。AC与水平方向成30°角。若把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为(　　)

A．G，G B．，G C．G，G D．G，G

【答案】B

【解析】根据重力压两个光滑斜面的作用效果，将重力分解为与两斜面分别垂直的G1和G2，根据平行四边形定则作出力的示意图，如图所示

由几何关系可得

故选B。

3．将物体所受重力按力的作用效果进行分解，下列图中错误的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】物体所受重力按力的作用效果进行分解中，A、B、D均符合题意，C中的重力应分解为水平向左的分力和垂直斜面向下的分力，故ABD正确，C错误。

故选C。

4．将一个力F分解为两个分力F1和F2，则下列说法中正确的是(　　)

A．由分力F1和F2求合力F是唯一的，由合力F求分力F1和F2也是唯一的

B．F1和F2两个分力在效果上可以等效替代合力F

C．物体受到F1、F2和F三个力的作用

D．以上说法都错误

【答案】B

【解析】A．由合力F求分力F1和F2不是唯一的，例如，10N可以分解为1N和9N，也可以分解为2N和8N，A错误；

B．根据合力和分力的定义，F1和F2两个分力在效果上可以等效替代合力F，B正确；

C．合力和分力不能同时存在，C错误

D．以上说法B正确，D错误。

故选B。

5．滑雪圈是冬季滑雪场中常见的游乐项目之一，如图所示，人拉雪圈在水平地面上前行。雪圈质量为m，与地面之间的动摩擦因数为μ，绳子对雪圈的拉力为F，F与水平方向之间的夹角为θ，重力加速度为g。以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。把拉力F分解为x方向的分量Fx和y方向的分量Fy。则Fy的大小为(　　)

A．Fsinθ B．Fcosθ C． D．

【答案】A

【解析】Fy的大小为故选A。

6．将物体所受重力或拉力按力的效果进行分解，下列图中错误的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】A．重力产生了使物体沿斜面下滑的效果及压斜面的效果，A正确；

B．拉力产生了将物体向上抬升和向右拉动的效果，B正确；

C．重力产生了拉绳和挤压墙壁的效果，C正确；

D．重力产生了挤压墙壁的效果，两个分力应分别垂直于墙壁，D错误。

本题选择错误选项，故选D。

7．如下列各图所示，倾角不同的光滑斜面固定于水平地面上，挡板垂直固定于斜面。四个相同的小球靠着挡板静止在斜面上，则球对挡板压力最大的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设斜面的倾斜角为，对重力进行分解，垂直于斜面和沿斜面向下的两个力，则球对挡板的压力等于重力沿斜面向下的分力

所以倾斜角越大，球对挡板的压力越大，故选D。

二、多选题

8．某品牌菜刀如图所示，菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不一样，刀刃前部的顶角小，后部的顶角大，下列说法正确的是(　　)

A．在刀背上加上同样的力时，分开其他物体的力跟刀刃厚薄有关

B．刀刃前部和后部厚薄不匀，仅是为了外形美观，跟使用功能无关

C．在刀背上加上同样的压力时，顶角不同，分开其他物体的力会有所不同

D．刀刃顶角的大小对分开其他物体的力没有影响

【答案】AC

【解析】把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角劈，设顶角为2θ，背宽为d，侧面长为l，如图乙所示

当在劈背施加压力F后，产生垂直侧面的两个分力F1、F2，使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他物体。由对称性知，这两个分力大小相等(F1=F2)，因此画出力分解的平行四边形，实为菱形，如图丙所示。

在这个力的平行四边形中，取其四分之一考虑(图中阴影部分)，根据它跟半个劈的直角三角形的相似关系，得

由此可见，刀背上加上一定的压力F时，侧面分开其他物体的力跟顶角的大小(刀刃厚薄程度)有关，顶角越小，sinθ的值越小，F1和F2越大，分开其他物体的力就越大。

故AC正确，BD错误。

故选AC。

9．如图所示是李强同学设计的一个小实验，他将细绳的一端系在手指上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，杆沿水平方向，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂重物，并保持静止。则(　　)

A．细绳是被拉伸的，杆是被压缩的

B．杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向A

C．细绳对手指施加的作用力的方向沿细绳由A指向B

D．细绳所受的拉力肯定比重物的重力大

【答案】AD

【解析】A．重物的重力产生两个效果：一是使绳子沿BA方向被拉紧，二是使杆受到向左的挤压，如图所示

所以绳子是被拉伸的，杆是被压缩的，A正确；

B．杆对手掌施加的作用力方向沿杆由A指向C， B错误；

C．绳对中指施加的作用力方向指向绳子收缩的方向，即沿绳由B指向A，C错误；

D．根据受力分析，拉力与重力的关系为

细绳所受的拉力肯定比重物的重力大，D正确。

故选AD。

10．如图所示，质量均为m的A、B两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处施加一竖直向下的力F，整个装置处于静止状态，设杆与竖直方向之间的夹角为θ，下列说法正确的是( 　)

A．每根轻杆受到的力为

B．地面对滑块的支持力与θ的大小有关

C．滑块与地面之间的摩擦力大小为

D．当F一定时，θ越小，滑块就越容易和地面发生相对滑动

【答案】AC

【解析】A. 将力F沿轻杆方向分解可知，每根轻杆受到的力为

选项A正确；

B. 对两滑块的整体，竖直方向

可知地面对滑块的支持力与θ的大小无关，选项B错误；

C. 滑块与地面之间的摩擦力大小为

选项C正确；

D. 当F一定时，θ越小，则f越小，则滑块就越不容易和地面发生相对滑动，选项D错误。

故选AC。

11．下列关于力的说法中，不正确的是(　　)

A．力的合成与分解体现了等效替代的思想方法

B．两个力合成，其中一个力增大，另外一个力不变，合力一定增大

C．5N、2N、6N三个共点力的最大合力为13N，最小合力为1N

D．物体静止在斜面上受的重力可以分解为使物体沿斜面下滑的力和物体对斜面的压力

【答案】BCD

【解析】A．力的合成和分解是等效替代思想，A正确，但不符合题意；

B． 两个力合成，当夹角大于时，其中一个力增大，另外一个力不变，合力可能减小，故B错误，符合题意；

C．5N、2N、6N三个共点力，当三个力方向相同时合力取得最大值，为13N，当5N、2N的合力为6N时且与6N的力方向相反时总的合力取得最小值，为0，C错误，符合题意；

D．物体静止在斜面上受的重力可以分解为使物体沿斜面下滑和挤压斜面效果的力，不是物体对斜面的压力，D错误，符合题意。

故选BCD。

12．在东京奥运会时的体操吊环的比赛中，中国选手刘洋顶住了压力获得了该项目的冠军。如图所示，刘洋先双手撑住吊环，如图甲，然后身体缓慢下移，双臂逐渐张开到图乙位置，关于此过程的下列说法中正确的是(　　)

A．悬挂吊环的两根绳的拉力逐渐增大 B．悬挂吊环的两根绳的拉力可能不变

C．刘洋受到的吊环对他的作用力逐渐增大 D．刘洋受到的吊环对他的作用力不变

【答案】AD

【解析】对刘洋受力分析，可知，两绳的拉力的合力与刘洋受到的重力大小是相等的，因人的重力大小不变，所以两绳的合力F的大小不变，即刘洋受到的吊环对他的作用力不变；根据合力与分力的关系，可知在合力F不变的情况下，双臂缓慢张开，则两绳之间的夹角变大，故两个分力的大小不断增大。

故选AD。

三、解答题

13．如图所示，一物体受四个力的作用：重力G=100N、与水平方向成37°角的拉力F=60N、水平地面的支持力FN=64N、水平地面的摩擦力f=16N，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

(1)力F在竖直方向的分力和水平方向的分力；

(2)物体所受到的合力大小及方向。

【答案】(1)竖直方向上，水平方向上；(2)合力大小，方向水平向右。

【详解】

(1)力F在竖直方向的分力和水平方向的分力

(2)竖直方向上

水平方向上

物体所受到的合力大小

方向水平向右。

14．如图所示，一个重为的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心与A点的连线与竖直方向成角，且，所有接触点和面均不计摩擦，不计物体因挤压而导致的形变。试求墙面对小球的支持力的大小和A点对小球支持力的大小。

【答案】，

【详解】

小球的重力产生两个作用效果，如图所示

根据平衡条件可知，墙面对小球的支持力与G1相平衡，A点对小球支持力与G2相平衡，根据上图由几何关系知墙面对小球的支持力

A点对小球的支持力大小为

15．将完全相同的原木按图(a)所示堆放，设原木半径为R，重力为G，若不考虑原木之间的摩擦，最上面三根原木可视作图(b)一样的“品”字形，最上面这根原木对其下面两根原木有怎样的作用效果？分别求出最上面这根原木对其下面两根原木的作用力大小。

【答案】最上面这根原木对其下面两根原木有垂直于接触面的压力，均为

【解析】

最上面这根原木由于重力作用，对其下面两根原木有垂直于接触面的压力，如图所示

由平行四边形定则可得，最上面这根原木对其下面两根原木的作用力大小为

16．在同一平面内的四个共点力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N和15N，方向如图所示，求它们的合力。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

【答案】38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上方

【解析】

【分析】

本题若直接运用平行四边形定则求解，计算过程十分复杂。因此，可采用力的正交分解法求解。

【详解】

如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有

Fx＝F1＋F2cos37°－F3cos37°＝27N

Fy＝F2sin37°＋F3sin37°－F4＝27 N

因此，如图乙所示，合力

即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上方。