2022年初升高数学衔接讲义(第2套) 第1讲 集合的概念（教师版+学生版）

第1讲 集合的概念

一、集合的有关概念

1.     集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称              集.

2.     表示方法：一般用大写字母或大括号表示集合，用小写字母表 示集合中的元素.

3.     集合相等：构成两个集合的元素完全一样.

4.     集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合就确定了.

例如：“之间的偶数”构成集合，是这个集合的元素，而就不 是它的元素；“较大的数”、“漂亮的花”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现.

例如：方程的解构成的集合是，而不是.

③无序性：集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列.

例如：和是同一个集合.

5.     元素与集合的关系：(分“属于”与“不属于”两种)

①如果是集合的元素，就说属于集合，记作；

②如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.

6.     集合的分类

7.     常见数集的写法

例1.下列指定的对象能构成集合的是          .

①大于2的整数；②所有的正小数；③所有的小正数；④的近似值；⑤高一年级优秀的学生；⑥方程的解；⑦这个数；

例2.用“”或“”填空.

①   ；    ②   ；    ③   ；    ④    ；

⑤   ；  ⑥   ；    ⑦   ；  ⑧   .

例3.(1)已知三个实数构成一个集合，求应该满足的条件.

（2）已知集合的元素为，若且，求实数的值.

二、集合的表示

1.     列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用大括号“”括起来表示集合的方法.

说明：

 ①书写时，元素与元素之间用逗号分开；

 ②一般不必考虑元素之间的顺序；

 ③集合中的元素可以是数，点，代数式等；

 ④列举法可表示有限集，也可以表示无限集.当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示；

 ⑤对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，像自然数集用列举法表示为.

例4.用列举法表示下列集合：

①小于4的正偶数组成的集合；

②绝对值小于5的所有整数的集合；

③小于6的所有自然数的集合；

④方程的所有实数根组成的集合；

⑤方程组的实数解组成的集合.

2.     描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

一般格式：，例如：.

说明：①弄清集合代表元素是数还是点、还是集合或其他形式？

例如：与是两个不同的集合.

 ②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：即代表整数集.

例5.用描述法表示下列集合：

①由大于2小于等于26的所有奇数组成的集合；

②不等式的所有解组成的集合；

③抛物线上的点组成的集合.

例6.设集合，且,求的值.

例7.已知，若集合中恰有4个元素，则(    )

1.        B.       C.        D.

例8.已知集合.

（1）若，求的取值范围；

（2）若中至多一个元素，求的取值范围.

例9.设实数集满足下面两个条件：①；②若，则.

（1）求证：若，则；

（2）若，则在中必含有其它两个数，试求出这两个数；

（3）求证：集合中至少有三个不同的元素.

跟踪训练

1.     下列说法正确的个数为(   )

①集合与集合表示同一集合；②集合与集合 不是同一集合；③集合与集合是同一个集合；④集合和集合是同一集合；⑤集合和集合是同一集合；⑥方程的解集为.

A.1个             B.2个             C.3个            D.4个

2.     用列举法表示下列集合：

①；

②；

③.

3.     用描述法表示下列集合：

①正偶数集；

②大于2的实数；

③100以内能被3整除的正整数.

4.     已知且，则的值为(    )

A.0           B.1           C.2           D.3

5.     已知集合，那么(    )

 A.              B.             C.           D.  

6.     给出下列说法：

①集合用列举法表示为；②实数集可以表示为或；③方程组的解组成的集合为；

其中不正确的有          .(把所有不正确的说法的序号都填上)

7.     若集合，则实数的取值范围是          .

8.     设集合是两个非空数集，定义集合，若，，则中元素的个数为(    )

  A.9               B.8               C.7              D.6

9.     定义集合运算：.设，，则集合中所有元素之和为(    )

 A.0                B.2               C.3              D.6