2022年初升高数学衔接讲义(第2套) 第13讲 幂函数（教师版+学生版）

第13讲 幂函数图像及其性质

1.幂函数的定义： 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．

2.幂函数的图象

3.幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．  

②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．

其中当时，幂函数在递增的趋势越来越快，图像下凹；当时，幂函数在递增的趋势越来越慢，图像上凸.

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．

基础强化

1.     下列函数中既是偶函数又在上是增函数的是(   )  

A．    B．   C．   D．

【答案】A

2.     函数在区间上的最大值是(    )

A．          B．      C．4          D．

【答案】C

3.     下列所给出的函数中，是幂函数的是(    )

A．        B．      C．       D．

【答案】B

4.     函数的图象是(    )

          A           B             C           D

【答案】A

5.     下列命题中正确的是(    )

A．当时函数的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过和点

C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数

D．幂函数的图象不可能出现在第四象限

【答案】D

【解析】A错误:当时函数的图象是一条直线除去点；B错误：幂函数的图象都经过点，当指数大于0时，都经过点；C错误：若幂函数是奇函数且，则是定义域上的减函数，例如；D正确：幂函数的图象一定经过第一象限，不可能出现在第四象限.

6.     函数和图象满足(    )

A．关于原点对称    B．关于轴对称    C．关于轴对称    D．关于直线对称

【答案】D

7.     函数，满足(    )

A．是奇函数又是减函数               B．是偶函数又是增函数

C．是奇函数又是增函数               D．是偶函数又是减函数

【答案】C

【解析】，作出图像如下图，由图可知是奇函数又是增函数，故选C.

8.     函数的定义域是          .

【答案】

【解析】由可知其定义域为.

9.     函数是偶函数，且在是减函数，则整数的取值集合是         .

【答案】

【解析】由在是减函数得，解得，

整数，，

又是偶函数，，

则的取值集合是.

10. 函数的单调递减区间是           .

【答案】

【解析】函数中有，解得，

在上递减，的单调递减区间是.

11. 比较下列各组中两个值大小

(1)和；     (2)和

【答案】(1)；(2)

12. 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

(1) ；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)

 (A)      (B)       (C)          (D)       (E)      (F)

【答案】(1)A；(2)F；(3)E；(4)C；(5)D；(6)B

【解析】(1)，定义域为，非奇非偶函数，在单调递增；

(2)，定义域为，奇函数，在单调递增；

(3)，定义域为，偶函数，在单调递增；

(4)，定义域为，偶函数，在单调递减；

(5)，定义域为，奇函数，在单调递减；

(6)，定义域为，非奇非偶函数，在单调递减.

对比分析可知对应关系为(1)A；(2)F；(3)E；(4)C；(5)D；(6)B.

跟踪训练

1.     下列函数中，值域是的函数是(      )

A．            B．           C．        D．

【答案】C

【解析】A中值域为；B中值域为；C中值域为；D中值域为，故选C.

2.     函数的图象(       )

A．关于直线对称    B．关于轴对称    C．关于原点对称    D．关于轴对称

【答案】C

【解析】是奇函数，图象关于原点对称，故选C.

3.     幂函数的图象一定经过点(        )

A．             B．          C．           D．

【答案】B

4.     已知幂函数的图象经过点，则的值为(　　)

A．16                B.                C.             D．2

【答案】C

【解析】依题意设，则，，，

，选C.

5.     下列结论中，正确的是(　  　)

①幂函数的图象不可能在第四象限

②时，幂函数的图象过点和

③幂函数，当时是增函数

④幂函数，当时，在第一象限内，随的增大而减小

A．①②             B．③④          C．②③         D．①④

【答案】D

【解析】①正确：当时，恒成立，故幂函数的图象不可能出现在第四象限；

②错误：时，无意义，故幂函数的图象不过；③错误：时，不具备单调性；④正确：当时，幂函数在上为减函数，故选D

6.     在函数中，幂函数有(　 　)

A．1个             B．2个              C．3个            D．4个

【答案】B

【解析】函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．所以只有是幂函数，个数为2，故选B.

7.     已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则(      ) 

A．                   B．

C．                   D．                                                                                                                                          

【答案】B

【解析】由偶函数在上单调递减且可得，即

，选B.

8.     已知幂函数的图象经过 ，则        .

【答案】3

【解析】依题意设，则，，.

9.     已知函数，为何值时，是：

(1)正比例函数；(2)反比例函数； (3)二次函数；(4)幂函数．

【答案】(1)1；(2)；(3)或；(4)或.

【解析】(1)若是正比例函数，

则，解得；

(2)若是反比例函数，

则，解得；

(3)若是反比例函数，

则，解得或；

(4)若是幂函数，

则，解得或.

10. 函数是幂函数，且当时，是增函数，试确定的值．

【答案】3

【解析】是幂函数，则，解得或3，

当时，在是减函数，不符合题意；

当时，在是增函数，符合题意，

综上可知.