2022年初升高数学衔接讲义(第2套) 第11讲 函数的单调性与最值（教师版+学生版）

第11讲 函数的单调性与最值

一、单调性概念及性质

1．单调性的概念(一般地，设函数的定义域为，区间.)

2.单调区间的定义

如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间．

3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

①设元——设是给定区间内的任意两个数，且;

②作差——计算化简至最简(方便判断因式正负)；

③判号——判断的正负，若符号不确定，则进行分类讨论；

④定论——根据符号下结论.

1.     判断函数单调性的方法：

（1）定义法；

（2）图像法；

（3）性质法：①与具有相同的单调性；

②与，当时单调性相同；当时，单调性相反；

③当，都是增(减)函数时，是增(减)函数；

④当恒不为零时，与具有相反的单调性；

⑤当时，与具有相同的单调性．

例1.若函数的定义域为且满足，则函数在上为(     )

   A．增函数        B．减函数         C．先增后减        D．不能确定

例2.函数在上的图像如图所示，请写出函数的单调区间.

例3.利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性.

（1）                  (2)

例4.研究函数的性质.

例5.判断下列函数的单调性，并求其单调区间.

(1)            (2)           (3)  

二、函数最值

1. 函数最大值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：

①，都有；②，使得.那么称是的最大值.

2. 函数最小值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：

①，都有；②，使得.那么称是的最小值.

例6.如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值.

例7.求下列函数的值域.

(1)               (2)

例8. 

(1)    若函数的单调减区间是，求实数的取值范围；

(2)    若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.

例9.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．

例10.           已知函数．若对任意，恒成立，试求的取值范围．

例11.           若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是(　　)

A.            B.

C.             D.

例12.           已知函数是定义在区间上的减函数，解不等式．

例13.           设函数，其中为常数.

（1）对任意，当时，，求实数的取值范围；

（2）在(1)的条件下，求在区间上的最小值.

例14.           定义在上的函数满足，且当时，.

（1）求的值；

（2） 求证：；

（3） 求证：在上是增函数；

（4） 若，解不等式；

（5）比较与的大小.

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1.     下列函数在区间上是增函数的是(    )

 A.            B.           C.              D.

2.     已知在区间是增函数，则实数的取值范围是(     )

 A.            B.             C.             D.

3.     函数的图象的对称轴为直线，则  (     )

A.                B.

C.                 D.

(1)    若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_______.

(2)    若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是_______.

5.     求函数在区间上的值域是_______.

(1)    函数在区间的最大值为4，则________.

(2)    若函数在上递增，在上递减，则   ___  .

(3)    已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.

7.     函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________．

8.     已知是定义在上的减函数，则应满足 (     )

 A.           B.           C.            D.

9.     若函数与在上都是减函数，则的取值范围是(    )

   A.       B.        C.         D.

10. 已知函数，若，则实数的取值范围是(   )

   A.    B.      C.      D.

11.  已知函数的值域为，则实数的取值范围是             .

12.  已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，求的最小值；

（3）若为正常数，求的最小值.

13. 利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数．

14. 已知函数对任意，总有，且当时，

，.

(1)    求证：是上的减函数；

(2)    求是上的最大值和最小值.

15. 设，当时，恒成立，求的取值范围．

16. 已知函数是定义在上的增函数，且，解不等式.