专题16 集合间的基本关系（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

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专题16集合间的基本关系
学习目标

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2.在具体情境中，了解空集的含义
3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用
知识精讲


高中必备知识点1：Venn图的优点及其表示

(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．

高中必备知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念


[知识点拨]　(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．

高中必备知识点3：空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集．

高中必备知识点4：集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．
(2)对于集合A，B，C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．
(3)若A⊆B，A≠B，则AB．
典例剖析


高中必会题型1：确定集合的子集、真子集

1．(1)已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．
(2)已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．
【答案】(1){1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}；(2){3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
(1)因为{1，2}⊆M，所以1∈M，2∈M，
又因为M⊆{1，2，3，4，5}，
所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，
故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．
(2)若M只含1个元素，则M={3}；
若M只含2个元素，则M={1，5}，{2，4}；
若M只含3个元素，则M={1，3，5}，{2，3，4}；
若M只含4个元素，则M={1，2，4，5}；
若M含5个元素，则M={1，2，3，4，5}．
所以M可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
2．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.
【答案】见解析
集合{0,1,2}的所有子集为,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.
真子集为,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.
3．已知，则求：
(1)集合A的子集的个数，并判断Æ与集合A的关系
(2)请写出集合A的所有非空真子集
【答案】(1)8，ÆÜ (2)，，，，，
(1)的子集有Æ，，，，，，，共8个，
其中ÆÜ.
(2)集合A的所有非空真子集有，，，，，.
4．(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？
【答案】(1)见解析；(2)有个子集，个真子集.
(1)集合的所有子集有：、、、、、、、、、、、、、、、；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有个子集，个真子集.
5．举出下列各集合的一个子集：
(1)A={是立德中学的学生}；
(2)B={是三角形}；
(3)；
(4).
【答案】(1){是立德中学的女生}
(2){是直角三角形}
(3)
(4)
(1){是立德中学的女生}
(2){是直角三角形}
(3)
(4)

高中必会题型2：集合间关系的判断

1．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x