专题05二次函数的三种表示方式（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

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专题05二次函数的三种表示方式
专题综述课程要求

二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征(开口方向、顶点坐标、对称轴、最值)等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.
高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.
课程要求


《初中课程要求》
了解了一些简单函数图象的变换，如左加右减之类的水平平移，还了解了些简单的对称变换
《高中课程要求》
掌握各种平移变换，如左加右减的水平平移，上加下减的垂直平移，还要掌握各种对称变换，特別是关于原点、坐标轴的对称变换

知识精讲


高中必备知识点1：一般式

形如下面的二次函数的形式称为一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

高中必备知识点2：顶点式

形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y＝a(x-h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(h，k)．

高中必备知识点3：交点式

形如下面的二次函数的形式称为交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
典例剖析


高中必备知识点1：一般式

【典型例题】
已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，(0，﹣3)．
(1)求抛物线的表达式．
(2)已知点(m，k)和点(n，k)在此抛物线上，其中m≠n，请判断关于t的方程t2+mt+n＝0是否有实数根，并说明理由．
【答案】(1)y＝x2+2x﹣3；(2)方程有两个不相等的实数根．
【解析】
(1)抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，(0，3)
9a﹣3b+c＝0

解得a＝1，b＝2，c＝﹣3
∴抛物线y＝x2+2x﹣3；
(2)∵点(m，k)，(n，k)在此抛物线上，
∴(m，k)，(n，k)是关于直线x＝﹣1的对称点，
∴＝﹣1 即m＝﹣n﹣2
b2﹣4ac＝m2﹣4n＝(﹣n﹣2)2﹣4n＝n2+4＞0
∴此方程有两个不相等的实数根．

【变式训练】
抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式)

【答案】y=-x2+2x+3
【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为(1，4)，
设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4
把点(3，0)代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函数的解析式为y=-(x-1)2+4
故答案是y=-x2+2x+3．

【能力提升】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=12x2先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y2.

(1)求抛物线y2的解析式(化为一般式)；
(2)直接写出抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.
【答案】(1) y=12x-22-2 ;(2)4.
【解析】
(1)∵抛物线y1=12x2的顶点坐标为0,0，把点0,0先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为2,-2，
∴抛物线y2的解析式为y=12x-22-2；
(2)∵顶点坐标为2,-2，且抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积=S矩形OBAC，
∴抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积=4.



高中必备知识点2：顶点式

【典型例题】
已知二次函数．
⑴用配方法将此二次函数化为顶点式；
⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．
【答案】(1)；(2)(1，2)，直线
【解析】
(1)





(2)∵
∴顶点坐标为(1，2)，对称轴方程为直线.

【变式训练】
已知二次函数的图象的顶点是(﹣1，2)，且经过(1，﹣6)，求这个二次函数的解析式．
【答案】二次函数的解析式为y=﹣2(x+1)2+2．
【解析】
∵二次函数的图象的顶点是(﹣1，2)，
∴设抛物线顶点式解析式y=a(x+1)2+2，将(1，﹣6)代入得，a(1+1)2+2=﹣6，
解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2(x+1)2+2．

【能力提升】
二次函数的图象经过点，，．
(1)求此二次函数的关系式；
(2)求此二次函数图象的顶点坐标；
(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
【答案】(1)；(2)(1，-4)；(3)5
【解析】
(1)设，把点，，代入得
，解得
∴；
(2)∵
∴函数的顶点坐标为(1，-4)；
(3)∵|1-0|+|-4-0|=5
∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．


高中必备知识点3：交点式

【典型例题】
已知在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x+2k﹣2 的图象与 x 轴有两个交点．
(1)求 k 的取值范围；
(2)当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y=x2+2x+2k﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．
【答案】(1)k＜32；(2)(﹣2，0)和(0,0).
【解析】
(1)∵图象与x轴有两个交点，
∴方程x2+2x+2k-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac>0，即4-42k-2>0， 解得 k